2020版广西高考人教版数学(文)一轮复习考点规范练：14 导数的概念及运算

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雨衣专享 考点规范练14 导数的概念及运算

一、基础巩固

1.已知函数f (x )= +1,则 - - 的值为 ( )

A.-

B.

C. D.0

- - =- - - - =-f'(1)=- -

=-

. 2.已知曲线y=ln x 的切线过原点,则此切线的斜率为( )

A.e

B.-e

C.

D.- y=ln x 的定义域为(0,+∞),且y'= .

设切点为(x 0,ln x 0),则切线方程为y-ln x 0=

(x-x 0). 因为切线过点(0,0),所以-ln x 0=-1,解得x 0=e,故此切线的斜率为

.

3.已知函数f (x )在R 上满足f (2-x )=2x 2

-7x+6,则曲线y=f (x )在点(1,f (1))处的切线方程是( )

A.y=2x-1

B.y=x

C.y=3x-2

D.y=-2x+3

x=1,得f (1)=1;令2-x=t ,可得x=2-t ,代入f (2-x )=2x 2-7x+6得f (t )=2(2-t )2-7(2-t )+6,

化简整理得f (t )=2t 2-t ,即f (x )=2x 2-x ,∴f'(x )=4x-1, ∴f (1)=1,f'(1)=3,∴所求切线方程为y-1=3(x-1),

即y=3x-2.

4.

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雨衣专享 已知y=f (x )是可导函数,如图,直线y=kx+2是曲线y=f (x )在x=3处的切线,令g (x )=xf (x ),g'(x )是g (x )的导函数,则g'(3)=( )

A.-1

B.0

C.2

D.4

y=f (x )在x=3处切线的斜率等于- ,故f'(3)=- . ∵g (x )=xf (x ),∴g'(x )=f (x )+xf'(x ),

∴g'(3)=f (3)+3f'(3).

又由题图可知f (3)=1,∴g'(3)=1+3× -

=0.

5.曲线f (x )=x 3-x+3在点P 处的切线平行于直线y=2

x-1,则点P 的坐标为( )

A.(1,3)

B.(-1,3)

C.(1,3)和(-1,3)

D.(1,-3)

f (x )=x 3-x+3,∴f'(x )=3x 2-1.

设点P (x ,y ),则f'(x )=2,

即3x 2-1=2,解得x=1或x=-1,

故P (1,3)或(-1,3).

经检验,点(1,3),(-1,3)均不在直线y=2x-1上,符合题意.故选C .

6.已知直线y=kx+1与曲线y=x 3+ax+b

相切于点A (1,2),则a b 等于( )

A.-8

B.-6

C.-1

D.5

y=kx+1过点A (1,2),故2=k+1,即k=1. ∵y'=3x 2+a ,且直线y=kx+1与曲线y=x 3+ax+b 相切于点A (1,2),

∴k=3+a ,即1=3+a ,∴a=-2.

将点A (1,2)代入曲线方程y=x 3+ax+b ,可解得b=3,

即a b =(-2)3=-8.故选A .

7.若函数y=f (x )的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f (x )具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是(

)

A.y=sin x

B.y=ln x

C.y=e x

D.y=x 3

P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),

则由导数几何意义可知,两条切线的斜率分别为k 1=f'(x 1),k 2=f'(x 2).

若函数具有T 性质,则k 1·k 2=f'(x 1)·f'(x 2)=-1.

A 项,f'(x )=cos x ,显然k 1·k 2=cos x 1·cos x 2=-1有无数组解,所以该函数具有性质T;

B 项,f'(x )= (x>0),显然k 1·k 2= =-1无解,故该函数不具有性质T;

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雨衣专享 C 项,f'(x )=e x >0,显然k 1·k 2= =-1无解,故该函数不具有性质T;

D 项,f'(x )=3x 2≥0,显然k 1·k 2=3 ×3 =-1无解,故该函数不具有性质T .

综上,选A .

8.若点P 是曲线y=x 2-ln x 上任意一点,则点P 到直线y=x-2的距离的最小值为( )

A.1

B. C. D.

(0,+∞),所以y'=2x- ,令2x- =1,解得x=1,则曲线在点P (1,1)处的切线方程为x-y=0,所以两平行线间的距离为d= .故所求的最小值为 .

9.(2018天津,文10)已知函数f (x )=e

x ln x ,f'(x )为f (x )的导函数,则f'(1)的值为 .

f (x )=e x ln x ,∴f'(x )=e x ln x+ . ∴f'(1)=eln 1+

=e .

10.曲线y=log 2x 在点(1,0)处的切线与坐标轴所围三角形的面积等于 .

2

e

y'= ,∴k= ,∴切线方程为y= (x-1), ∴所围三角形的面积为S= ×1×

log 2e .

11.(2018甘肃天水月考)设函数f (x )=g (x )+x 2,曲线y=g (x

)在点(1,g (1))处的切线方程为y=2x+1,则曲线y=f (x )在点(1,f (1))处切线的斜率为

.

,得g'(1)=2, ∵函数f (x )=g (x )+x 2,

∴f'(x )=g'(x )+2x ,

∴f'(1)=g'(1)+2=4, ∴曲线y=f (x )在点(1,f (1))处切线的斜率为4.

12.若函数f (x

)=

x 2-ax+ln x 存在垂直于y 轴的切线,则实数a 的取值范围是 .

+

∞)

f (x )= x 2-ax+ln x , ∴f'(x )=x-a+

.

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雨衣专享 ∵f (x )存在垂直于y 轴的切线,

∴f'(x )存在零点,∴x+ -a=0有解,

∴a=x+ ≥2(x>0).

二、能力提升

13.若函数y=f (x ),y=g (x )的导函数的图象如图所示,则y=f (x ),y=g (x )的图象可能是( )

y=f'(x )的图象知y=f'(x )在(0,+∞)内单调递减,说明函数y=f (x )的切线的斜率在(0,+∞)内也单调递减,故可排除A,C .

又由图象知y=f'(x )与y=g'(x )的图象在x=x 0处相交,

说明y=f (x )与y=g (x )的图象在x=x 0处的切线的斜率相同,故可排除B .故选D . 14.若存在过点(1,0)的直线与曲线y=x 3和y=ax 2+ x-9都相切,则a 等于( )

A.-1或-

B.-1或

C.- 或-

D.- 或

7 y=x 3,所以y'=3x 2.

设过点(1,0)的直线与y=x 3相切于点(x 0, ),

则在该点处的切线斜率为k=3 ,所以切线方程为y- =3 (x-x 0),即y=3 x-2 . 又点(1,0)在切线上,

则

x 0=0或x 0= .

当x 0=0时,由y=0与y=ax 2+ x-9相切,

可得a=- ;

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雨衣专享 当x 0= 时,由y= x- 与y=ax 2+

x-9相切,可得a=-1.

15.(2018安徽六安模拟)给出定义:设f'(x )是函数y=f (x )的导函数,f″(x )是函数f'(x )的导函数,若方程 f″(x )=0有实数解x 0,则称点(x 0,f (x 0))为函数y=f (x )的“拐点”.已知函数f (x )=3x+4sin x-cos x 的“拐点”是M (x 0 …… 此处隐藏：1808字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……