4.2 微积分基本定理 课件(北师大选修2-2)(2)

a

理解教材新知第 四 章

§2

把握热 点考向

考点一 考点二 考点三

应用创新演练

a

a

a

a

1 2 已知函数f(x)=x,F(x)= x . 2 问题1:f(x) 和F(x)有何关系？

提示：F′(x)=f(x).问题2:利用定积分的几何意义求 xdx的值. 3 2 ∫1xdx= . 提示： 2 2 1

a

问题3:求F(2)-F(1)的值.1 1 3 2 2 提示：F(2)-F(1)= ×2 - ×1 = . 2 2 2

问题4:你得出什么结论？提示： f(x)dx=F(2)-F(1),且 F′(x)=f(x).问题 5:由 f(x)dx 与 F(2)-F(1)之间的关系，你认为导1 2

2 1

数与定积分之间有什么联系？提示： f(x)dx=F(b)-F(a), 其中 F′(x)=f(x). b a

a

微积分基本定理 如果连续函数f(x)是函数F(x)的导函数，即f(x)=F′(x), 则有∫bf x dx= F(b)-F(a) a

定理中的式子称为 牛顿—莱布尼茨公式 ，通常称

F(x)是f(x)的一个 原函数 .在计算定积分时，常常用记号F(x) | F(a),于是牛顿—莱布尼茨公式也可写作b ∫af(x)dx=F(x)| b= F(b)-F(a) . a b a

来表示F(b)-

a

微积分基本定理揭示了导数与定积分之间的关系， 即求定积分与求导互为逆运算，求定积分时只需找到导

函数的一个原函数，就可以代入公式求出定积分.

a

a

[例1]

计算下列各定积分：

(1)∫1(2x+3)dx; 0 (2)∫0 π(cos x+ex)dx; - 1 ∫3(2x- 2)dx. (3) 1 x

[思路点拨]

先求被积函数的原函数，然后利用微积

分基本定理求解.

a

[精解详析]

(1)∵(x2+3x)′=2x+3,

1 ∴∫1(2x+3)dx=(x2+3x)| 0=1+3=4. 0

(2)∵(sin x+ex)′=cos x+ex, ∴∫0 π(cos x+ex)dx -0 =(sin x+ex)| -π=1-e-π.

1 1 2 x + ′=2x- 2, (3)∵ x x

1 1 1 22 ∫3 2x- 2 dx= x2+ | 3=7+ = . ∴ 1 1

x

x

3

3

a

[一点通]

应用微积分基本定理求定积分时，首先

要求出被积函数的一个原函数，在求原函数时，通常先估计原函数的类型，然后求导数进行验证，在验证过程 中要特别注意符号和系数的调整，直到原函数F(x)的导 函数F′(x)=f(x)为止(一般情况下忽略常数),然后再利用 微积分基本定理求出结果.

a

1 1. xdx=________.

e 1

1 解析： xdx=ln e-ln 1=1.

e 1

答案： 1

a

2.求下列函数的定积分： (1)∫2(x2+2x+3)dx; 1 (2)∫π(sin x-cos x)dx; 0 1 ∫2 x+ dx. (3) 1

x

解：(1)∫2(x2+2x+3)dx 12 =∫2x2dx+∫22xdx+∫13dx 1 1

x3 2 25 2 2 2 = |1+x |1+3x |1= . 3 3

a

(2)∫π(sin x-cos x)dx 0 =∫πsin xdx-∫πcos xdx 0 0π =(-cos x) |π-sin x |0 =2. 0

1 21 ∫2 x+ dx=∫2xdx+∫1 dx (3) 1 1

x

x

1 22 1 1 2 2 = x |1+ln x |1= ×2 - ×12+ln 2-ln 1 2 2 2 3 = +ln 2. 2

a

3.求下列定积分

: (1) sin dx;(2) (2-x2)· (3-x)dx. 2 1-cos x 2x 解：(1)sin = , 2 2 1 1 x- sin 而2 2 1 1 ′= - cos x 2 2 2 0 2 0

2x

3 2

x, x dx

∴

2 0

sin dx= 22x

1 1 - cos 2 2

1 1 x- sin =2 2

x

2 0

π 1 π-2 = - = . 4 2 4