2012年东南地区冬令营赛前培训题7套

2012年东南地区冬令营赛前培训题7套

测试题A

1、设ABCD是一个直角梯形，其中AB∥CD，AB BC，E是AD上的一点，

BM,CN,EK是 EBC的三条高，且AM AB；

证明：AM,DN,EK三线共点．

2、设a为正数,如果以a为首项的等比数列 an 满足:a1 1,a2 2,a3 3也构成等比

2n 1

数列,则称 an 为a所对应的一个P，n 1,2,3, ，是一个P 数列；若an a 数列，

其中

11

a 1,令xn an ； 2an

2

证明：对于数列 xn 的任何三个连续项xn 1,xn,xn 1（n 1）, xn xn 1xn 1皆为常数．

3、将n个互异质数a1,a2, ,an分别填写于一个凸n边形A1A2 An的n个顶点处，使

得n边形的每条边上两端点的填数之和a1 a2,a2 a3, ,an 1 an,an a1皆是完全平方数，称这样的一个n边形A1A2 An为一个“优质n边形”；

如果两个优质n边形A1A2 An与B1B2 Bn顶点处所填的2n个质数a1,a2, ,an，

b1,b2, ,bn两两互异，且a1 a2 b1 b2, ,an 1 an bn 1 bn,an a1 bn b1，

则称这两个n边形是相互平等的；试确定：是否存在

(10)、两个相互平等的优质四边形？ (20)、两个相互平等的优质六边形？

证明你的结论．

4、一位慈善家采用如下方式为其会所招募会员：每个会员可以忽悠其他两个人前来入会，其中，这两个人是未曾被其他人所忽悠过的；而每个的新的会员又可以忽悠其他两个人前来入会，等等．对于某个会员A，被其忽悠过的会员，以及被其忽悠过的会员所忽悠的会员，等等，统称为A的“下线”．如果某会员A所忽悠来的两名会员B1,B2中的每一个人都至少有200名“下线”，则会员A在年终可获得慈善家的一张餐宴卷作为奖励． 试确定：若总共有2012个人成了会员，则在年终时最多有几人能够享受慈善家的餐宴？

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测试题B

1、如果正整数a可表为：a 2m 3n 5k(m,n,k N)，就称a为好数．证明：

存在2012个互异好数a1,a2, ,a2012，满足：

1111

． 333

a13a2a2011a2012

2、设M a1,a2, ,an 为正整数集，A1,A2, ,Am是其m(m 3)个子集；

证明：

i j

n 1m3

Ai Aj A Ai Aj Ak． i

4i 12n 4i j k

3、给定正数t以及正整数m,n 2，证明：对于满足条件aj aj 1 t,j 1,2, ,n,

（约定a0 0）的任意n个正数a1,a2, ,an，成立不等式：

mt nm 1 2m 1

aj aj ． 2 j 1j 1

n

2

4、不等边 ABC的外心为O，重心为G，A1,B1,C1分别是边BC,CA,AB的中点，

过点B,C分别作OG的垂线lb,lc，若lb A1C1 E，lc A1B1 F；

证明：A,E,F三点共线．

1

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测试题C

1、设a1,a2, ,an, 是一个由非负实数组成的有界无穷项数列，若对每个ai，皆有

0 ai c，且对任意两项ai,aj(i j)，都有ai aj

1

；证明：c 1． i j

2、凸四边形ABCD的对角线AC,BD交于K，AC,BD的中点分别为E,F，

且E,F,K互不重合，EF的延长线分别交AD,BC于

M,N；证明： AME, BNF, CNE, DMF, EFK

这五个三角形的外接圆共点．

3、设n 4，若n元正整数集合M满足：对任何整数k，都存在a,b M，a b，

使得a k与b k是不互质的数，就称M为“好集”．

证明：若M为“好集”，且M中所有元素之和为2011，则存在c M，使得从M中删去元素c后，所得到的集M M\ c 仍为“好集”．

4、对于给定的正整数集合M x1,x2, ,x2012 ，如果其子集T满足：T中的任两数x,y（允许x,y相等）之和皆不在T中，就称子集T是单纯的．

(10)、若T是M 1,2, ,2012 的单纯子集，求T的最大值；

证明：对任一正整数集M x1,x2, ,x2012 ，存在单纯子集T，满足T 671． (20)、

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测试题D

1、锐角 ABC中，以高AD为直径的圆w，交AC,AB于E,F，过点E,F分别作

圆w的切线，若两切线相交于点P；

证明：直线AP重合于 ABC的一条中线．

A

F

D

BC

2、在平面第一象限任给2n个点P,2, ,2n，证明：可以将其中的n个点i(xi,yi)i 1

染成红色，其余的n个点染成蓝色，使得红色xi的和与蓝色xi的和之差的绝对值不大于全体xi中的最大数，并且红色的yi的和与蓝色的yi的和之差的绝对值也不大于全体yi中的最大数．

3、设T(n)为正整数n

的正因数的个数，证明：T(n) 4、某公司有17个人，每个人都正好认识另外的4个人，证明：存在两个人，他们彼

此不相识且没有共同的熟人．

2012年东南地区冬令营赛前培训题7套

测试题E

1

、设实数a

p1p

2的有理数只有有限多个． qaqq

2、过等腰三角形ABC的底边BC所在直线上的任意一点D作直线l，分别交直线

AB,AC于E,F，过线段EF的中点M作平行于BC的

A

直线，分别交直线AB,AC于B1,C1，

证明： AEF, AB的外接圆, C1C1, B1EM1FM共点；且此四个圆心共圆．

BBE

F

M

D

C1

3、如果数集A a1,a2, ,an 满足条件： 1 、n 3 ； 2 、A中的全体元素可

以组成一个等差数列，则称集A为算术集. 类似地，当集A的子集B满足上述条件时，则称B为A的算术子集.

试证：对于n元算术集A，其算术子集的个数V n 满足等式：

V n n 2 T 2 n 3 T 3 2T n 2 T n 1 .

（其中，T k 为正整数k的真因数个数，即小于k的正因数个数）.

4、试求最大的S，使得总面积为S的任何有 …… 此处隐藏：1388字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……