一级注册结构工程师基础考试-高数课件01

1.空间解析几何

空间解几何析、向一量代 二数、空解间析何

几

1.空间解析几何

、一向代量数1向、量的概念定 义既:有大又小有向的量方为称量向.定 义既有大小又:方有向的称为量向.量向 量模:向的量长度 的小大向 量的模 向的量度长大(小向 的长量 度大)小单 位量:向为模的 向 量位向量单模 1的为量向 为模零 量向模: 为向量的方向,不固定 向量零模 0为向的 方量向固不 模定为 的向 量等相向量大小:等 方相向同 相相向量等大 相等,方向相同 大小相小等 负向:量小大相 方同相反向 负量 大小向同相,向方相 反小大相同 径向: 径向起点为原点:

1.空间解析几何

2、向的表量法示模 和方余弦向 ()1向有段 线模(方向和余弦)) 模方向和余弦 r )rr r (2)向的量解分：式a axi =ay j ++zk )a向量的分式：解rr r 在 三个坐标轴的分向上：量在三 坐标个轴的上向量分 ：xi a a,y j , azk3)向量(坐的标表示：式) 向的坐标量示表式 向量：坐标的 ：向的坐量： 标a x ,ay, a

zra {a= ,x y a,a z }中其 axay , a, z 分为量 x, y, z 轴 影 别 向 的 在 上 .投

1.空间解析几何

3、量的向线性算运r ar {=xa a,y ,a }zb {bx ,= yb, zb} rr a + b = {a x+b x, a y+ by ,za + z b}r rr =( ax +bx )i +( ay +by )j +(az + zb) rkr a b= {xa b x, ay by a, z bz }r r =r a( x bx i +()ya y ) b +j az (b )z rk a λ{=λax, λ ya ,λa zr}r r (λ=xa)i + λ(a y ) j+(λ za)

1.空间解析几何

k r 222 向量模长的坐 表示式 | 标 |=aa +xa +yaz向 方量余向的坐弦表标示式coαs=cos β = coγs=

ax + a a a+z ya2 x2 y 2a+ a+ az2 x 2y 2

a za+ +a z2 xa 2 y2( oc2sα c+s2 βo+ co s 2γ =1)

1.空间解析几何

4数、积

量r rr r a b| = |a| b c|soθr r 其中 θ 为a与 的夹角b=a pr j ba= b p rjba数积量坐标的表式达 = aa a 2

rr a = axbb x+ ayyb +azb两z量夹向余弦的坐标角示表式csoθ= r r ab⊥axbx+ ybay+ a bzz a+ a + z2 x a2y 2 b+ b + bz 2x y

2

2 b =a0 axxb + ybya az+zb= 0

1.空间解析几何

运算 律1)(交换 律(2 )结律合a (λ )

(bλ)a ( bµ =)λ( a (µb) = )λµ ( ab )() 分3配

1.空间解析几何

5律 向、积 量义定 ：向 c量设a,b 的 角θ, 夹为 方 向 c⊥:a, c ⊥ b 且符合手规右 则 :模 = a b scniθ

称 c 量a 为与 的 向 b量积 ,向 记

作bc =a b× (积叉)a

c a×=b

1.空间解析几何

性质

( 1×a a= 0

()2) a,b为 零非向, 量则a× b=0 a b∥运律算(1 a×b =b a ×)2) 分(律配 ( a+)×bc= ×ac+ b× c() 结合3律 λa(×)b =×(abλ)= λ a×b()

向量积

1.空间解析几何

的标表坐式达r r r rr ×b =a a(bz ya zyb) i+(azbx xbz )a j+axby (aybx )

krr ×ba= ax y azab x y bzbr irj r k

a ay xa a∥ zb a×b = =0= bx b bzy

1.空间解析几何

、6合混积 定、义已知 向三 量a b,, ,c称数量记

作 a(×b ) c 合混积 .为 a , , bc 的何意几V = (义 ×b a ) c[ ab]

a×cbαc= [a c]bb

a

1.空间解析几何

混积合坐的表示

设 a标= (xa, a y, a z) ,= (bb x,by bz,), c = (c ,xcy cz ),ax yaa z [a bc ]= ( ab × c )= x bb byzcx c y cz

1.空间解析几何

质 性1()三 个零非量 向 a, b ,c 共的充要面件条

[ 是 ab c] =0 x ay azab cx bxycy b = z c0z

r

1.空间解析几何

r 例 已知1 a =1{1, ,}4 b = {1, 2,,2}求，(1)) rrr r rr a b;( ) a与 b的 夹；角() a 在上b投的 影；2( )夹的；(角；(3 )上的影.投 rr解 (1) a b 1 1=1+ ( 2) +( 4 ) =2 9 (2).cosθ =ax x + byay + bazzba a ++ a2z x 2y 2b+ b +bz 2 2 xy

2 = , 12r rr r3( ) ab = b| | P jrbara b P∴rj b a=r = 3 |b|.3 π πθ ∴= . 4 rr

1.空间解析几何

r r r r rr rr 例 2 求与 a= i 32 j +4k, b = i + j 2都垂k直的位单向.(量直 的位向单量(08 年) 解

r r r rrc = a b = ×a xayaz =3 2 4 = 1j0 + 5, bx by kzb1 1 2

r i

jrrk

ri

r j

r kr Q c| 1=2 052+= 5 |5 c 2r r 1 r 0∴ c =±r = ± j+ k .5 5 | c|

1.空间解析几何

例3π .知向已 a量, b 夹的角θ =3 ,且 | a | = 2, b||= 3 ,4 解:( b )a ( a )b

a a=

2+b b 2

a= 2 a b ocθs b+ 3π 2 2 = 2( )2 2 3cso 3+4 1=7

a b ∴= 17例4(