第七章 分析力学的变分原理

第七章 分析力学的变分原理

第七章 分析力学的变分原理

牛顿力学的困难……

分析力学——拉格朗日1788年出版了《分析力学》一书, 建立了拉格朗日方程, 首先有效地解决了牛顿力学存在的困难. 1834年哈密顿建立了哈密顿正则方程……

本课程的重点.

变分原理——将真实运动状态从可能运动状态中挑选出来.

§7-1 约束的分类 广义坐标

分析力学主要研究约束系统的力学问题.

一、 约束方程

由约束物体预先给定的对力学系统运动的限制叫做约束.

它表现为在运动过程中各质点位置和速度必须满足一定的关系.

设系统由n个质点组成, 以xi,yi,zi表示第i个质点的坐标, 则约束方程为

i,y i,z i,t)=0 i=1,2,...,n f(xi,yi,zi,x

(1) 长为l的刚性轻杆与小球连接组成球面摆, 建立以悬挂点为坐标原点的直角坐标系Oxyz, 小

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球约束方程为

x+y+z l=0 2222

(2) 半径为R的车轮沿水平直线轨道做无滑滚动, 约束方程表示为

c=0 y x R =0 c

在一定初始条件下积分可得

yc=R x R =0 c

两组约束方程分别表明了地面对车轮的位置和速度的限制.

(3) 一质点始终在球心固定的球面上运动, 球的半径以R=R0+at的规律增大(a为常数, a>0). 以球心为原点建立直角坐标系Oxyz, 则质点的约束方程为

x2+y2+z2 (R0+at)2=0

(4) 在水平冰面上滑行的冰鞋上装有冰刀, 冰面对冰刀横向运动的限制使冰刀质心的速度方向只能沿着冰刀的纵向.

以冰刀的质心坐标xc,yc和转角 作为冰刀的位置坐标, 则冰刀的约束方程为

cx=cot cy

上式还可写成

dxc=

cot dyc

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由于cot 与yc的函数关系不能确定, 所以不可积分.

二、约束的分类

首先根据约束方程的特点进行分类(1—3).

1. 完整约束和非完整约束.

约束方程仅含质点的坐标和时间的约束称为完整约束.

f(xi,yi,zi,t)=0

求导, 得

f f f f i+ i+ i)+(yz=0 ∑ i yi z ti=1 xi

f f f f(dxi+dyi+dzi)+dt=0 ∑ t zi yii=1 xinn

能经积分回到f(xi,yi,zi,t)=0.

如果约束方程不仅包含质点的坐标, 还包含坐标对时间的导数或坐标的微分, 而且不能通过积分使之转化为仅包含坐标和时间的完整约束方程, 则这种约束称为非完整约束, 其约束方程形式为

i,y i,z i,t)=0 f(xi,yi,zi,x

不受非完整约束的系统称为完整系.

本教材只研究完整系.

2. 定常约束和非定常约束.

根据约束方程是否显含时间, 可把约束分为

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定常约束和非定常约束. 定常约束方程形式为

i,y i,z i)=0 f(xi,yi,zi,x

非定常约束方程形式为

i,y i,z i,t)=0 f(xi,yi,zi,x

3. 双侧约束和单侧约束.

将约束方程以等式表示和非等式表示进行划分, 约束可分为双侧约束和单侧约束. 若约束方程是等式, 这种约束就是双侧约束. 若约束方程含有不等式, 就称为单侧约束.

例(1)中, 如果将刚性杆换成细绳, 则约束条件要用不等式表示

x2+y2+z2 l2≤0

此时小球受到的是单侧约束.

4. 理想约束和非理想约束.

根据约束力的性质, 约束可分为理想约束和非理想约束. 这部分内容将在§7-2中阐述.

每个力学系统的约束都可以从上述四个独立的方面考察.

三、自由度

对于完整系, 确定系统位置所需要的独立坐标的数目, 称为该系统的自由度, 用s表示.

完整系自由度的多少与约束方程的数目有着简单的关系. 由n个质点组成的系统, 确定位置需要3n个坐标, 假如此系统存在k个完整约束方程.

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fµ(x1,y1,z1,...,xi,yi,zi,...,xn,yn,zn,t)=0 µ=1,2,...,k 则系统的自由度为s=3n k.

m个刚体s=6m k.

例题 1 长为l的细杆AB的一端被约束在水平桌面上, 确定其自由度.

解 细杆的位置由杆的两端的坐标(xA,yA,zA)和(xB,yB,zB)确定, 因存在着2个约束方程: zA=0 2222 (xx)(yy)(zz)l + + =BABAB A

杆的自由度为s=6 2=4

[刚体s=6 2=4……]

四、广义坐标

我们把在给定的约束条件下用来确定力学系统位置的一组独立变量称为系统的广义坐标.

在完整系中, 广义坐标的数目与自由度数目相等, 是确定系统位置的最小变量数.

对于一个给定的系统, 广义坐标的数目是一定的, 而广义坐标的选择不是惟一的.

例如……

广义坐标的多种选择, 促使我们根据需要去寻找描述系统位置的最佳方案.

广义坐标一般用符号q表示, 如果系统有s个自由度, 就需要s个广义坐标q1,q2,...,qs. 也可缩写成qα, α

=1,2,...,s.

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广义坐标的选取有很大的灵活性.

广义坐标与直角坐标的变换关系——坐标变换方程.

xi=xi(q1,q2, ,qs,t) yi=yi(q1,q2, ,qs,t) i=1,2, ,n z=z(q,q, ,q,t)12is i

或写成矢量形式, ri=ri(q1,q2,...,qs,t) i=1,2,...n 例题1中, 如果选择xA,yA,θ, 为广义坐标, 则坐标变换方程为

xA=xA y=yA A

zA=0 xB=xA+lsinθcos yB=yA+lsinθsin zB=lcosθ

广义坐标对时间的导数称为与该广义坐标对

a=dqadt, 系统的运动状态应的广义速度, 写成q

需用广义坐标与广义速度共同描述.