1.2.3同角三角函数的基本关系式
时间:2025-07-11
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高考复习资料
普通高中课程标准实验教科书—数学第四册[人教版B]
第一章 基本初等函数(II)
1.2.3同角三角函数的基本关系式
(第一课时)
教学目标:
理解同角三角函数的基本关系式
教学重点: 教学过程
一、复习引入:
1.复习三角函数的定义 2.三角函数线 二、讲解新课: 1.公式: sin
2
cos 1
2
sin cos yr
tan
2.采用定义证明: 1 x y r
2当 k
2
2
2
且sin ,cos yr xr
xr
sin cos 1 yr rx yx
tan
22
2
(k Z)时,
sin cos
3.利用三角函数线证明(略)
4.推广:(1)sin cos 1这种关系称为平方关系,类似的平方关系还有:
sec tan 1 csc cot 1
2
2
2
2
2
2
(2)
sin cos
tan 这种关系称为商数关系,类似的商数关系还有:
cos sin
cot
(3)初中曾学习过tan cot 1这种关系称为倒数似的倒数关系还有:
csc sin 1 sec cos 1(证略)
45.注意:
1 “同角”的概念与角的表达形式无关,
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2 ta 2co2
2 sin
如: sin23 cos23 1
6.这些关系式还可以如图样加强形象记忆:
①对角线上两个函数的乘积为1(倒数关系对角找②任一角的函数等于与其相邻的两个函数的积(商数关系一肩挑
tan
cot
③阴影部分,顶角两个函数的平方和等于底角函数的平方(平方关系到三角
7.例子: 例1. 已知sin
45
,并且 是第二象限角,求 的其他三角函数值.
分析:由平方关系可求cos 的值,由已知条件和cos 的值可以求tan 的值,进而用倒数关系求得cot 的值.
解:∵sinα+cosα=1, 是第二象限角
4232
cos sin 1 () ,
55
2
2
4
tan
5 4
3cos 3 5
13
cot .
tan 4
817
sin
例2.已知cos ,求sin 、tan 的值.
分析:∵cosα<0 ∴ 是第二或第三象限角.因此要对 所在象限分类.
当 是第二象限角时,
sin
cos
15
tan
17 .
8cos 8 17sin
15
2
(
817
)
2
1517
,
当 是第三象限时
sin cos
2
1517
,tan
158
.
提问:不计算sin 的值,能否算得tan 的值?
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由于
1cos
2
1 tan 而 在Ⅱ或III象限
2
2
tan
15 18
1 1 . 2
8cos 17
1
cos
2
1
2
1 tan
例3.已知tan 为非零实数,用tan 表示sin ,cos .
2
解:由sec2 tan2 1 即 cos
11 tan
2
1
tan2
cos
1
2
tan
当 为第一、四象限角
当 为第二、三象限角
而 sin tan costan
tan2
sin
tan
2
tan
当 为第一、四象限角
当 为第二、三象限角
注:此类问题为求值中的:知一求五问题,解决此类问题的次序一般来讲是:到平倒商倒.
小结:本节课我们学习了同角三角函数的基本关系式
课堂练习:第26页练习A、B 课后作业:第35页习题1-1A:7
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