1.2.3同角三角函数的基本关系式

高考复习资料

普通高中课程标准实验教科书—数学第四册[人教版B]

第一章 基本初等函数（II）

1.2.3同角三角函数的基本关系式

（第一课时）

教学目标：

理解同角三角函数的基本关系式

教学重点： 教学过程

一、复习引入：

1．复习三角函数的定义 2．三角函数线 二、讲解新课： 1．公式: sin

2

cos 1

2

sin cos yr

tan

2．采用定义证明： 1 x y r

2当 k

2

2

2

且sin ,cos yr xr

xr

sin cos 1 yr rx yx

tan

22

2

(k Z)时，

sin cos

3．利用三角函数线证明（略）

4．推广：（1）sin cos 1这种关系称为平方关系,类似的平方关系还有：

sec tan 1 csc cot 1

2

2

2

2

2

2

（2）

sin cos

tan 这种关系称为商数关系,类似的商数关系还有：

cos sin

cot

（3）初中曾学习过tan cot 1这种关系称为倒数似的倒数关系还有：

csc sin 1 sec cos 1（证略）

45．注意：

1 “同角”的概念与角的表达形式无关，

- 1 -

高考复习资料

2 ta 2co2

2 sin

如： sin23 cos23 1

6．这些关系式还可以如图样加强形象记忆：

①对角线上两个函数的乘积为1(倒数关系对角找②任一角的函数等于与其相邻的两个函数的积(商数关系一肩挑

tan

cot

③阴影部分，顶角两个函数的平方和等于底角函数的平方(平方关系到三角

7．例子： 例1． 已知sin

45

，并且 是第二象限角，求 的其他三角函数值．

分析：由平方关系可求cos 的值，由已知条件和cos 的值可以求tan 的值，进而用倒数关系求得cot 的值．

解：∵sinα+cosα=1， 是第二象限角

4232

cos sin 1 () ,

55

2

2

4

tan

5 4

3cos 3 5

13

cot .

tan 4

817

sin

例2．已知cos ，求sin 、tan 的值．

分析：∵cosα＜0 ∴ 是第二或第三象限角．因此要对 所在象限分类．

当 是第二象限角时，

sin

cos

15

tan

17 .

8cos 8 17sin

15

2

(

817

)

2

1517

,

当 是第三象限时

sin cos

2

1517

,tan

158

.

提问：不计算sin 的值，能否算得tan 的值？

- 2 -

高考复习资料

由于

1cos

2

1 tan 而 在Ⅱ或III象限

2

2

tan

15 18

1 1 . 2

8cos 17

1

cos

2

1

2

1 tan

例3．已知tan 为非零实数，用tan 表示sin ，cos ．

2

解：由sec2 tan2 1 即 cos

11 tan

2

1

tan2

cos

1

2

tan

当 为第一、四象限角

当 为第二、三象限角

而 sin tan costan

tan2

sin

tan

2

tan

当 为第一、四象限角

当 为第二、三象限角

注：此类问题为求值中的：知一求五问题，解决此类问题的次序一般来讲是：到平倒商倒.

小结：本节课我们学习了同角三角函数的基本关系式

课堂练习：第26页练习A、B 课后作业：第35页习题1-1A：7

- 3 -