这是大学微积分教材课后习题详解答案。

习题七

（A）

1.求下列函数的定义域,并画出定义域的图形： (1)z

x

y； (2)z arcsin

xy

2

；

(3)z ln(y x)

x x y

2

2

；

(4)z R x y

222

1x y r

2

2

2

(0 r R).

解 (1) (x,y)y 0,x

2

2

y；(2) (x,y)y 0, y x y

2

2

2

2

22

；

(3) (x,y)y x,x y 1 ；(4) (x,y)r x y R2.设f(x y,

yx

) x y,求f(x,y).

2

2

.

u x x y u 1 v,代入得 解 设 y,解得

uv v

y x

1 v

f(u,v) f(x y,

yx

) x y (

2

2

u1 v

) (

2

uv1 v

)

2

u(1 v)1 v

2

,即

f(x,y)

x(1 y)1 y

2

.

3.设z x y f(x y),且当y 0时,z x.求函数f和z的表达式. 解 由题意知,z x y f(x y) x f(x) x,整理得f(x) x x. 又f(x y) (x y) (x y),代入得z x y f(x y) 2y (x y).

4.若函数z f(x,y)恒满足f(tx,ty) tf(x,y),则称该函数为k次齐次函

k

2

2

2

2

2

这是大学微积分教材课后习题详解答案。

数.证明下列函数为齐次函数,并说明是几次齐次函数: (1)f(x,y) x4 3x2y2； (2)f(x,y)

1x y

；

(3)f(x,y) xe

3

yx

； (4)f(x,y) ln

x y xx y x

2

2

22

.

解 (1)因f(tx,ty) (tx)4 3(tx)2(ty)2 t4f(x,y),所以是4次齐次函数. (2)因f(tx,ty)

1tx ty

3

1

t

tytx

f(x,y),所以是 1次齐次函数.

(3)因f(tx,ty) (tx)e (4)因f(tx,ty) ln

3

tf(x,y),所以是3次齐次函数. 22

2

(tx) (ty) tx(tx) (ty) tx

2

f(x,y),所以是0次齐次函数.

5.求下列函数在给定点处的偏导数: (1)z

xy(x y)x y

x y

2

2

22

22

(1,1),z y(1,1)； ,求z x

(2)z e (3)z

3

(0,1),z y(1,0)； ,求z x

2

(1,1),z y(1,2)； x y,求z x

y2x

2

2

(4)z ln(x

),求z (1,0),z y(1,0). x

2

2

2

2

2

解 (1)z x

[y(x y) xy2x](x y) 2xxy(x y)

(x y)

y[x y 4xy]

(x y)

2

22

2

2

4

4

2

2

2

2

2

,

z y

[x(x y) xy2y](x y) 2yxy(x y)

(x y)

2

2

2

2222

这是大学微积分教材课后习题详解答案。

x[x y 4xy]

(x y)

2

2

2

4422

,

则z (1,1) 1,z y(1,1) 1. x

x

(2)z 2xex

2

y

2

, z y 2yex

2

23

2

y

2

,则z (0,1) 0,z y(1,0) 0. x

2

2

23

(3)z x

3

2x3

(x y)

2

, z y

2y3

(x y),则

z (1,1) x

23

,z y(1,2)

1x

y2x

(1

43515

.

1x

y2x

12x

12

(4)z x

y2x

), z y 2

(1,0) 1,z y(1,0) ,则z x

.

1 22

, (x y)sin2

2

6.函数f(x,y) x y

0,

fy (0,0).

(x,y) (0,0),(x,y) (0,0).

求fx (0,0),

解 fx (0,0) lim

f( x,0) f(0,0)

x

( x)sin

lim

x 0

2

1( x)

2

x 0

x

2

0,

fy (0,0) lim

f(0, y) f(0,0)

y

( y)sin

lim

x 0

1( y)

2

y 0

y

0.

7.求下列函数的一阶偏导数: (1)z

3y

2

1

3

x

ln5； (2)z arctan

x y1 xy

2

2

；

(3)z y(arcsiny)； (4)z ln

x

x y xx y x

2

2

；

这是大学微积分教材课后习题详解答案。

xz

(5)u ey ey； (6)z ex(cosy xsiny)； (7)u ()z； (8)u xy.

y解 (1)z x

13

43

x

z

x

3

,z y 6y.

(2)z x

1 (

1

x y1 xy1x y1 xy

)

2

1 xy (x y)( y)

(1 xy)

2

11 x

2

,

z y

1 (

)

2

1 xy (x y)( x)

(1 xy)

2

11 y

2

.

x

y(arcsiny)ln(arcsiny), z y (arcsiny (3)z x

xy y

2

)(arcsiny)

x 1

.

(4)z x

x y xx y x

2

2

22

(

y

2

2

2

) (

2

y

2

2

2

)

x yx y

2

2x y

2

2

(x y x)

2

,

2xy

z y

x y x

2

2

22

x y

2

2

22

2

y1y

2xx y

zy

e.

x y x(x y x)1y

x

y

e,u y

22

.

(5)u x

1y

2

xz

(xe

y

ze),u z

x

y

x

e(siny cosy xsiny),z y e( siny xcosy). (6)z x

(7)u x

zxzzxzxzx

. ()ln(),u y (),u z

yyyyxy

zy

z 1

(8)u x

x

y

,u y

zy

2

z

y

xlnx,u z

1y

z

xlnx.

y

这是大学微积分教材课后习题详解答案。

8.证明下列各题： (1)若z

x yx y

lnxy

,则x

z x

y

z y

0；

(2)若z xyyx,则x

z x

y

z y

z(x y lnz)；

(3)若z ln(nx

n

y)且n 2,则x

z x

y

z y

1n

；

(4)若u ln(tanx tany tanz),则

u x

sin2x

u y

sin2y

u z

sin2z 2；

(5)若u (y z)(z x)(x y) …… 此处隐藏：8133字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……