自动控制原理,胡寿松,第五版,第四章,根轨迹法

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第四章 根轨迹法§4-1§4-2 §4-3

根轨迹法的基本概念绘制系统根轨迹的基本法则 控制系统的根轨迹分析方法

学习指导与小结

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4-1

根轨迹法的基本概念

4.1.1 根轨迹反馈控制系统的性质取决于闭环传递函数。只要求解出闭环系统的特征根，系统响应的变化规律就知道了。但 是对于3阶以上的系统求根比较困难。如果系统中有一个可 变参数时，求根就更困难了。 ( s) C ( s ) b0 R( s ) a 0

(s zj 1 r

m

j

)

( s p ) ( si 1 i k 1

q

2

2 2 k k s k )

c( t ) A0 Ai ei 1

q

pi t

Bk e k k t sin( dk t k )k 1

r

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1948年，伊凡思提出了一种确定系统闭环特征根的 图解法——根轨迹法。在已知开环零极点分布的基础 上，当某些参数变化时，利用该图解法可以非常方便 的确定闭环极点。

定义：当系统开环传递函数中某一参数从0 时，闭环系统特征根在s 平面上的变化轨迹，就称作系统根

轨迹。一般取开环传递系数(根轨迹增益Kg)作为可变参数。

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举例说明：已知系统的结构图，分析0 < K < ,闭环特 征根在s平面上的移动路径及其特征。R(s)

+

﹣

K s(0.5s+1)

C(s)

解：系统的开环传递函数为 Kg K 2K G s s(0.5 s 1) s( s 2) s( s 2)

一定要写 成零极点 表达式

式中，K为系统的开环比例系数。 Kg = 2K 称为系统的开 环根轨迹增益。 Kg 系统的闭环传递函数为： ( s ) 2 s 2s K g

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系统的闭环特征方程为： s2 + 2s + Kg = 0 求得闭环特征根为：s1, 2 1 1 K g示。

G s

Kg s ( s 2)

闭环特征根s1,s2是Kg函数， 随着Kg的改变而变化。 j

(1) Kg= 0:s1 = 0,s2 = 2,是根迹的起点(开环极点),用“ ”表

(2) 0 < Kg< 1 :s1 ,s2 均是 负实数。 Kg s1 ,s2 。 s1从坐标原点开始沿负实轴 向左移动； s2从( 2,j0) 点开始沿负实轴向右移动。(3) Kg= 1: s1 = s2 = 1,重根。

Kg

Kg= 0

Kg=1

Kg= 00

2

1

(4) Kg >1: s1, 2 1 j K g 1

Kg

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根据2阶系统根轨迹的特点，可以推得n阶系统，会有如下的 结论： (1)n阶系统有n个根，根轨迹有n条分支 ； (2)每条分支的起点 (Kg= 0)位于开环极点处； (3)各分支的终点(Kg )或为开环零点处或为无限点； (4)重根点，称为分离点或汇合点。 Kg

j

根轨迹与系统性能

1. 稳定性当Kg从0 时，图中 的根轨迹不会越过虚轴进入 s右半平面，因此二阶系统 对所有的Kg值都是稳定的。Kg Kg= 0

Kg=1

Kg= 0 0

2

1

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如果高阶系统的根轨迹 有可能进入s 右半平面，此 时根迹与虚轴交点处的Kg 值， 成为临界开

环增益。

2.稳态性能 开环系统在坐标原点有 一个极点，系统属于1 型系统， 因而根规迹上的Kg 值就是静 态速度误差系数Kv。如果给 定系统对ess 有要求，则对Kg 有要求，由根迹图可以确定 闭环极点位置的容许范围。

Kg

j

Kg= 0

Kg=1

Kg= 0 0

2

1

Kg

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3. 动态性能 由图可见，当0 < Kg< 1时，闭环极点均位于负实轴上， 系统为过阻尼系统，单位阶跃响应为非周期过程。 当 Kg = 1时，闭环两 个实极点重合，系统为临 界阻尼系统，单位阶跃响 应为非周期过程。 当Kg > 1时，闭环极 点为一对共轭复数极点， 系统为欠阻尼系统，单位 阶跃响应为阻尼振荡过程。

Kg

j

Kg= 0

Kg=1

Kg= 0 0

2

1

Kg

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4.1.2 根轨迹方程研究下图所示反馈控制系统的一般结构。 C(s) R(s) +± G(s)H(s)

系统的闭环传递函数为C ( s) G( s ) ( s ) R( s ) 1 G( s ) H ( s ) 该系统的闭环特征方程为: D(s) = 1 ± G(s)H(s) = 0 或 G(s)H(s) = ±1

若将系统的开环传递函数G(s)H(s)写成如下形式：G( s) H ( s) K g M ( s) N ( s) K g ( s zi )i 1 m

一定要写 成零极点 表达式

(s p )j 1 j

n

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式中Kg为系统的根迹增益， zi 为系统的开环零点，pj为系统的开

环极点。上述方程又可写为：

( s zi ) (s p j )j 1 i 1 n

m

1 Kg

“-”号，对应负反馈， “+”号对应正反馈。

由于满足上式的任何s都是系统的闭环极点，所以当系统的结构参数，如Kg在某一范围内连续变化时，由上式制约的s在s平面上描 画的轨迹就是系统的根轨迹。因此上式称之为系统的根轨迹方程。 根轨迹的幅值方程：

s zi 1 n j 1

m

i

s p

1 Kg

j

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( s zi )根轨迹的幅角方程：m i 1

m

(s p j )j 1

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