周世勋量子力学课件第八章

第八章 全同粒子系：多电子原子教学要求1 掌握全同粒子的特性和体系的波函数.

2 掌握泡利不相容原理3 掌握两电子体系的自旋波函数 4 掌握多电子原子的电子壳层结构.理 解电子组态和元素周期表(自学).

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§1 全同粒子的特性

§2 全同粒子体系波函数 泡利原理§3 两个电子的自旋波函数

§4 氦原子(微扰法)§5 自洽场

§1 全同粒子的特性

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(一)全同粒子和全同性原理(二)波函数的对称性质 (三)波函数的对称性不随时间变化 (四)Fermi 子和 Bose 子

(一)全同粒子和全同性原理1 全同粒子 质量、电荷、自旋等固有性质完全相同的微观粒子。 2 经典粒子的可区分性 经典力学中，固有性质完全相同的两个粒子，是可 以区分的。因为二粒子在运动中，有各自确定的轨 道，在任意时刻都有确定的位置和速度。1

位置 轨道 速度

2 1

2

可判断哪个是第一个粒子哪个是第二个粒子

3 微观粒子的不可区分性服从 微观粒子运动 量子力学 用 波函数描写

在波函数重叠区粒子是 不可区分的 4 全同性原理 全同粒子所组成的体系中，二全同粒子互相代 换不引起体系物理状态的改变。 全同性原理是量子力学的基本原理之一。

第五条基本假设

(二)波函数的对称性质1 Hamilton 算符的对称性 N 个全同粒子组成的体系，其Hamilton 量为： 2 2 N H (q1 , q2 , qi q j q N , t ) i U ( q i , t ) V ( q i , q j ) 2 i 1 i j 其中 qi {ri , si } 为第i个粒子的坐标和自旋。N

即：

调换第 i 和第 j 粒子，体系Hamilton 量不变。

H (q1 , q2 , q j qi q N , t ) H (q1 , q2 , qi q j q N , t )

表明，N 个全同粒子组成的体系的Hamilton 量具有交 换对称性，交换任意两个粒子坐标(q i , q j ) 后不变。

2 对称和反对称波函数

考虑全同粒子体系的 含时Schrodinger 方程

i (q1 , q2 , qi q j q N , t ) t H (q1 , q2 , qi q j q N , t ) (q1 , q2 , qi q j q N , t )

将方程中(q i , q j ) 调换，得： i (q1 , q2 , q j qi q N , t ) t H (q1 , q2 , q j qi q N , t ) (q1 , q2 , q j qi q N , t )

由于Hamilton量 对于(q i , q j ) 调 换不变

H (q1 , q2 , qi q j q N , t ) (q1 , q2 , q j qi q N , t )

i (q1 , q2 , q j qi q N , t ) t H (q1 , q2 , q j qi q N , t ) (q1 , q2 , q j qi q N , t )

H (q1 , q2 , qi q j q N , t ) (q1 , q2 , q j qi q N , t )

表明： (q i , q j ) 调换前后的波函数都是Schrodinger 方程的解。 根据全 同性原 理： (q1 , q2

, qi q j q N , t ) 描写同一状态。 (q1 , q2 , q j qi q N , t )

因此，二者相差一 常数因子。

(q1 , q2 , q j qi q N , t ) (q1 , q2 , qi q j q N , t )

再做一次(q i , q

j

) 调换

(q1 , q2 , qi q j q N , t ) (q1 , q2 , q j qi q N , t ) 2 (q1 , q2 , qi q j q N , t )

所以 1

12

1对称波函数

二粒子互换后波函数不 变，即 (q1 , q2 , qi q j q N , t ) (q1 , q2 , q j qi q N , t )

1

二粒子互换后波函数变 号，即 (q1 , q2 , qi q j q N , t ) (q1 , q2 , q j qi q N , t )

引入 粒子 坐标 交换 算符

反对称波函数

ij ( i , j ) ( j , i ) ( i , j ) 2 ( i , j ) ( i , j ) ij ij ij ( i , j ) 2 ( i , j ) ij 所以 1 , 对称波函数是 ij 本征值

1的本征态； 反对称波函数是 ij 本征值

1的本征态。

(三)波函数的对称性不随时间变化全同粒子体系波函数的这种对称性不随时间变化， 即初始时刻是对称的，以后时刻永远是对称的； 初始时刻是反对称的，以后时刻永远是反对称的。

证明:

方法 I

设全同粒子体系波函数 s 在 t 时刻是对称的，由 体系哈密顿量是对称的，所以 H s 在t 时刻也是 对称的。因为等式两边对称性应是一样的，所以Schrodinger方程 s i s H 中式左的 s 是对称的。 t t

因为等式两边对称性应是一样的，所以Schrodinger方程 s i s H 中式左的 s 是对称的。 t t

在 t+dt 时刻，波函数变化为

s s dt t

对称二对称波函数之和仍是对称的

对称

依次类推，在以后任何时刻，波函数都是对称的。 同理可证：t 时刻是反对称的波函数 a ,在t 以后任 何时刻都是反对称的。

方法 II

ij , H 0

ij 是守恒量，即

交换对称性不随时间改 变。全同粒子体系哈密 顿量是对称的 结论： 描写全同粒子体系状态的波函数只能是对称的或反对 称的，其对称性不随时间改变。如果体系在某一时刻 处于对称(或反对称)态上，则它将永远处于对称 (或反对称)态上。

(四)Fermi 子和 Bose 子实验表明：对于每一种粒子，它们的多粒子波函数 的交换对称性是完全确定的，而且该对称性与粒子 的自旋有确定的联系。 (1)Bose 子 凡自旋为 整数倍(s = 0,1,2,……) 的粒子，其 多粒子波函数对于交换 2 个粒子总是对称的，遵从 Bose统计，故称为 Bose 子 如： 光子 (s =1); 介子 (s = 0)

。

(2)Fermi 子 凡自旋为 半奇数倍(s =1/2,3/2,……) 的粒子， 其多粒子波函数对于交换 2 个粒子总是反对称的， 遵从Fermi 统计，故称为Fermi 子。 例如：电子、质子、中子( s …… 此处隐藏：946字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……