数学竞赛培训讲义

竞赛培训讲义

与矩形、菱形、正方形、梯形相关的竞赛题

矩形、菱形、正方形、梯形是特殊的四边形，它除具有平行四边形的性质外，还具有一些特殊的几何性质，本将就开始研究与这些特殊的四边形相关的竞赛题.

一 矩形的性质与判定的应用

例1 如图，设P是等腰直角DABC斜边AB上任意一点，PE^AC于点E，

PF^BC于点F，PG^EF与点G，延长GP并在其延长线上取点D，使PD=PC，

求证：PC^BD且BC=BD

CF

例2 在矩形ABCD中，已知AD=12,AB=5,P是AD边上任意一点，PE^BD于

P

E,PF^AC于F,求PE+PF的值.

练习

AE

P

D

B

C

1、已知矩形ABCD中，AB=6,BC=8,将DBCD沿BD对折，点C落至E处，AD交BE于点F，求DDEF的面积.

2、如图，在平行四边形ABCD中，?ABC若DE=2AB，求ÐAED的大小.

D

CF

B

C

F

A

E

D

75癪,AFBC于F，AF交BD于E，

A

B

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3、如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，AE平分ÐBAD交BC于E，

?CAE

15 ，求ÐBOE的度数.

A

D

BEC

二 菱形的性质与判定的应用

例3 四边形ABCD是菱形，DAEF是正三角形，点E,F分别在边BC,CD上，且

AB=AE，求ÐB的度数.

练习

1、如图，菱形ABCD中，点E,F分别在边BC,CD上,?B（1）求证：DAEF是正三角形

（2）若BE=3,EC=4，求DAEF的面积.

B

ADF

E

C

60 ,?AEF

A

60 ,

DF

2、如图，DABC中，?BAC

B

E

C

90癪,ADBC,D为垂足，在BC上取BE=BA，作

EF^BC交AC于F，联接BF交AD于G，求证：四边形AGEF是菱形

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A

F

GD

BE

C

三 正方形的性质与判定的应用 1、正方形中的全等构造

例4 如图，E,F分别是正方形ABCD的边CD,AD上的点，且CE=DF，AE,BF相交于点O，下列结论：①AE=BF,②AE^BF,③AO=OE,④S AOB S四边形DEOF,正确的有

练习

1、将边长为12cm的正方形ABCD折叠，使点A落在边CD上的E点，然后压平得折痕FG，若GF的长为13cm，求线段CE的长.

BH

C

A

F

DE

A

DE

B

C

2、如图，已知正方形ABCD的边长为6，菱形EFGH的三个顶点E,G,H分别落在正方形的边AB,CD,DA上，AH 2,CG 1，求 FCG的面积. D

2、正方形中的特殊直角三角形

例5 如图，BF平行于正方形ABCD的对角线AC，点E在BF上，且AE AC，

HE

BG

C

CF∥AE,求 BCF的值.

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D

C

F

E

AB

练习

1、正方形ABCD的面积为64， BCE是等边三角形，F是CE的中点，AE,BF交于点G，联接CG，求CG的长.

2、如图，两块边长为a的正方形中心互相重合，记露出的一个三角形为 ABC， A为直角，(1)求证： ABC的周长为定值.(2)若 ABC 60 ，求 ABC的面积.

3、正方形中的对称性的应用

例6 如图，正方形ABCD中，AB 2，E是CD的中点，P是对角线上BD一点，求CP PE的最小值.

练习

如图，正方形ABCD中，E是BC上一点，BE 2,EC 4,P,Q分别在线段BD,DC上，求周长的最小值.

B

F

C

A

D

A

P

D

E

B

C

A

D

PB

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Q

E

C

四 梯形的性质及常见辅助线的作法 1、平移两腰

例 已知一个梯形的4条边长分别为1,2,3,4，求此梯形的面积.

练习 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD<BC，∠B+∠C=90°，E为AD的中点，F为BC的中点，求证：EF=

2、作梯形的高

例 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD，∠ADC=120°（1）求证：BD⊥DC；（2）若AB=4，求梯形ABCD的面积。

练习 如图，梯形ABCD中，CD∥AB，AC=BC，且AC⊥BC，AB=AD，求∠CAD.

3、平移对角线

10．如图，在等腰梯形ABCD中，已知AD∥BC，对角线AC与BD互相垂直，且AD=3，BC=7，求BD的长。

4、构造全等

1

（BC-AD） 2

A

B

例 如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，点E是边CD的中点，若AB=AD+BC，BE=则梯形的面积为（ ）

A.

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5

，2

252525 B. C. D.25 428

练习 1、如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD=3，BC=5，将腰DC交点D沿时针方向旋转90°至DE，连结AE，则△ADE的面积为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4

2、如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BA=CD，AD长为4，梯形ABCD=9，已知点A、B坐标分别为（1，0）和（0，3）。（1）求点C的坐标；（2）取点E（0，1），连结DE并延长线AB于F，试猜想DE与AB之间的关系。

5、构造梯形中位线

例 如图，以 ABC的边CA,CB向外作正方形ACDE与BCGF，P是EF的中点，求证：点P到边AB的距离是线段AB长的一半.

练习

已知□ABCD及其外一条直线l，记顶点A,B,C,D到直线l的距离分别为a,b,c,d，

D

D

G

C

E

F

A

Q

B

求证：a c b d.

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B

A

C

l