利息理论第二章课后答案

1、 证明：

v

n

v i(am an)

m

;

证明：

vv

n

m

1 1

i( ) i(a a)

ii

n tn

mn

2、化简：a

解：

s

tn

a

s

1 n t

n1 i

1 i 1 i 1 i 1 1

1 i 1 1 i 1 1 n 1

n

t

t

1 i 1

t

nnn

i

3、设a x,a2 y，用x、y来表示d; 解：

1 vna xn 2x yi2x y2 n 1 xi vi

1 xi 1 yi i d 222n2n

1 ixx 2x y1 v1 yi v a y

i

4、设a证明：

m

x,sn y

证明：

a

vx y

1 iy；

1 vm 1 i 1m a x vm 1 xiv

1 1 xiv 1 yi xv y i a m nn

i1 iy1 i 1 1n

s y v 1 yi i n

5、证明：证明：

..

s

..

n

s

..

..

s

..

..

1

2n2n

;

s2nsn

sns2n

n

1 i 1

1 i 1 1 i 1 1 i 1

n2n2ns2n 1 i 1 1 i 1 1 i 1

n2n

1 1 i 1 i

s3n

2nn3n

1 i

2n

1

1

6年金a的给付情况是：1—10年，每年给付1000；11-20年，每年给付2000元；21-30年，每年给付1000元；年金b在1-10年，每年给付k元；11-20每年给付0；21-30，每年给付k元，若a与 b相等，知道=0.5，计算k

解：1000a30+1000a10v10 =ka30-ka10v10 又因v10=0.5 解答得k=1800

7 某人希望采取零存整取的方式累积2000，前n年，每年末存入50，后n年，每年末存入100，不足部分在2n+1年末存入，正好达到2000的存款本息和。设年利率为4.5%计算n及超出或者不足2000的差额 解:50s2n+50sn=2000 解答得n=9.3995 所以n=9

（50s18+50s9） 1 i +x=2000 解答得 x=32.4

8 从1998年起，知道1998年底，默认每年一月一号和一月七号在银行存入一笔款项，七月一号的存款要比一月一号的多10.25%，并且与下一年的一月一号相等，每年计息两次且年名义利率为10%。；在1998年十二月三十一号，本息为11000 ，计算第一次存款 解

：

x

（1.0520+1.1025 1.0519 1.1025 1.0518 1.10252 1.0517 1.05 1.102510）=11000

因为1.1025=1.052

X（10*1.0520+10*1.0521）=11000 解答得 x=202.2

9. Ia n0.1=55，an=8.08利用近似计算

0.1

解；f x x f x x f x an

an 0.002 an

0.1 0.1

0.102

≈7.98

10.某期末付年金付款如下：单数年末，每次付款100元，双数年末每次付款200元，共20年。若在某时间t一次性付3000元的现值与前面的年金现值相等。若利率i>0，写出t的表达式。

解：100( 2 2 3 2 4 2 20) 3000 t

100(a20

2

4

20

) 100(a20

2a20 2(1 20)

) 100 a20

a1 2 ( 2 2)a20

3000 t 100

a

t

2 a

2

30a2

( 2 2)a

ln

2

t

ln

11.某年末付永续年金首次付款额为1，第二次为2，…，直到付款额增加到n，然后保持不变。计算该永续年金现值。 解：

Ia

n

Ia n n a

n

n n na

i

nann na iid

12.某n年期连续年金在t时刻

f g h，其中f

0 t n

付款 1 kt ，其现值为

为连续支付的每期付款1单位的永续年金的

现值，g为延续n年，每年支付 1 kn 的连续支付的永续年金的现值，计算h。 解：

f f g

nnnk 1 1kn t

g h 1 kt dt 20ln ln ln

n

1

n 1 kt

h

k 1 n

2

1 t

1 t，写出an的表达式。 13.若

1an ln 1 n 01 t解：

n

14.证明 解：

(I

(m)

)m()

(I(ma)

m(i(m

1

)

d

m(

))

a)

(m) lim

n

(m)na n n

i(m)

1 1 nn 11

lim(m) (m) (m)(m)(m)(m)n i(1 i)n m d id i d

15.甲在2025年1月1日需要50000元资金以及一个期初付、

每半年领取一次的为期十五年的年金，每次领取款项为k。这些款项需要从2000年1月1日起，每年初存入银行k

元，

共25年，存入款项时每年计息2次的年名义利率为4%，领取年金时，每年计息2次的年名义利率为3%，计算k。

解：

k s500.02a20.02

k s300.075 5000

k 2605.998

16.延期一年连续变化的年金共付款13年，在时刻t时，年付款率为t2-1,t时刻的利息力为（1+t)-1,计算该年金现值。 解：

V(0) (t2 1)(1 t) 1dt (t 1)dt (

1

1

14

14

t

t) 84.521

n

2

14

17.计算：（1）解：

(1). (Ia)t

i 1n

(Ia)

i 1

n

（2)

(Da)

i 1

nn

t t ait ai

t

n ti tn(1 i) a

t 1

n

i 1

i

n

2

n n nn(1 i) 2a

i2

(2). (Da)t

i 1

i 1

n

t

n

t ti (1 t)n(n 1)i 2n 2a 2

iii2i 1i 1