研究生《数值分析》试卷(带答案)

y2

一.(6分) 已知描述某实际问题的数学模型为u(x,y) 3xy ，其中，x,y由统计方法

x

2

得到，分别为x 2,y 4,统计方法的误差限为0.01,试求出u的误差限 (u)和相对误差限

r(u).

u(x,y) u(x,y)y2 2y

(x) (y) 6xy 2 (x) 3x2 (y) 解： (u)

x yx x

(48 4) 0.01 (12 4) 0.01 0.44 0.16 0.6

0.6

r(u) 0.010714 2

y562

3xy

x

二.(6分) 已知函数f(x) 3x 1计算函数f(x)的2阶均差f[0,1,2],和4阶均差

3

(u)

f[0,1,2,3,4].

解：f[0,1]

f(1) f(0)4 1

3,

1 01

f[1,2]

f(2) f(1)25 4

21

2 11

f[0,1,2]

f[1,2] f[0,1]21 3

9

2 02

f(4)( )

f[0,1,2,3,4] 0

4!

三.(6分)试确定求积公式: 0f(x)dx 解：记I 0f(x)dx In

1

1

1

11

[f(0) f(1)] [f'(0) f'(1)]的代数精度. 212

11

[f(0) f(1)] [f'(0) f'(1)] 212

11

f(x) 1时：I 01dx 1 In [2] [0 0] 1

2121111

f(x) x时：I 0xdx In [1] [1 1]

22122

1

1111

f(x) x时：I 0xdx In [1] [0 2]

21233

2

1

2

11111

f(x) x3时：I 0x3dx In [1] [0 3]

4212411111

f(x) x4时：I 0x4dx In [1] [0 4]

52126

求积公式 f(x)dx 0

1

11

[f(0) f(1)] [f'(0) f'(1)]具有3次代数精度. 212

3

2

四.(12分) 已知函数f(x) 2x x 2x 1定义在区间[-1,1]上,在空间

(x) Span{1,x,x2}上求函数f(x)的最佳平方逼近多项式.

其中,权函数 (x) 1,(f(x), 0(x)) ,(f(x), 1(x)) 解：( 0(x), 0(x)) 11dx 2

1

4

3324,(f(x), 2(x)) . 1515

1

( 0(x), 1(x)) ( 1(x), 0(x)) 1xdx 0

1

2

2

( 0(x), 2(x)) ( 2(x), 0(x)) ( 1(x), 1(x)) 1xdx

3

( 1(x), 2(x)) ( 2(x), 1(x)) 1x3dx 0

12

( 2(x), 2(x)) 1x4dx

5

1

解方程组

2 0 2 3

0230

2 4 3 a0 3 1 a0 1632 得 a 0 a1 1 15 5 a a2 2 4 2 1 5 15

2

则f(x)的最佳平方逼近多项式为：p(x) x 五.(16分) 设函数f(x)满足表中条件:

16

x 1 5

(1) 填写均差计算表(

(2) 分别求出满足条件2kk2kk的 2次 Lagrange 和 Newton差值多项式.

(3) 求出一个四次插值多项式H4(x),使其满足表中所有条件.并用多项式降幂形式表示.

解：L2(x)

(x 1)(x 2)(x 0)(x 1)

x2 2x 1

(0 1)(0 2)(2 0)(2 1)

2

N2(x) 1 ( 1)(x 0) 1(x 0)(x 1) x 2x 1 令H4(x) x 2x 1 (ax b)x(x 1)(x 2)

则

2

H4'(x) 2x 2 ax(x 1)(x 2) (ax b)(x 1)(x 2) (ax b)x(x 2)

(ax b)x(x 1)

H4'(1) 2 2 (a b)(1 2) 2 a b 2由

H4'(2) 4 2 (2a b)2(2 1) 0 2a b 1

解得 a 3,

b 5

2

4

3

2

因此H4(x) x 2x 1 ( 3x 5)x(x 1)(x 2) 3x 14x 20x 8x 1 六.(16分)

(1). 用Romberg方法计算 1

3

xdx,将计算结果填入下表(*号处不填).

1

k 0

(2). 试确定三点 Gauss-Legender 求积公式 f(x)dx Akf(xk)的Gauss点xk与系数

1

Ak,并用三点 Gauss-Legender 求积公式计算积分: 1

3

xdx.

解：过点（1，-1）和点（3，1）作直线得 x t y

所以积分 1

3

xdx 1t 2dt

1

13

由三次Legendre多项式 p3(x) (5x 3x) 得得Gauss点：

2

x0 ,x1 0,x2 ,

55

1

1dt 2 A0 A1 A2 1

1 A0 A2 1xdt 0 再由代数精度得

5 5

3A0 3A2 1x2dt 2

1 53 5

A0 A1 A2 2

即 A0 A2 0

A A 10/9

2 0

58

解得 A0 ,A1 ,

995f(x)dx 1

9

1

1

5A2 ,

9

f 5

所以三点Gauss-Legendre求积公式为：

85

f f0 5 99

因此 I 1 2dx 七.(14分)

5852 2 2 2.79746 95995

(1) 证明方程x lnx 2 0在区间(1, )有一个单根.并大致估计单根的取值范围. (2) 写出Newton 迭代公式,并计算此单根的近似值.(要求精度满足: |xk 1 xk| 10). 解：令 f(x) x lnx 2

5

f'(x) 1

1

0,x (1, )> 即f(x)在区间 (1, ) 单调增 x

又 f(2) ln2 0,有一单根 x0 (1,e)

2

f(e2) e2 4 0 所以 x lnx 2 0 在区间 (1, )

Newton 迭代公式为xk 1 xk

xk lnxk 2xk xklnxk

1xk 11 xk

令 x0 2 计算得

八. (12分) 用追赶法求解方程组:

21 x1 1 131 x2 2

111x32 21 x4 0

的解.

b1 1,c1 1 1

解： 由计算公式 ai i,bi i i 1 ii 2, ,n

c ,i 2, ,n 1

ii i

得 1 2, 1 1 1,

1 , 2 1, 3 1, 4 2,

1

2

52

c2

12

2 1 2 b2 2 3 1 2 2 c2 2

2

2 5

c3523

3 3 c3 3 3 2 3 b3 3 1 1

3355

57

4 3 4 b4 4 1 2

33

2

21 15

2 131

因此 1111

21

2 5 1

2

令 Ly b 解

1

1 1

2 13

5

7 2

3

251

即 A LU 5 3 1

yy1 11 y2 2 y2 3 得

y3y32 5 yy07 4 2 2 4

3

1 1

2 1

令 Ux y解

251

x x1 0 1 x2 x2 1

得

x3 15 x3 xx2 4 3 4 2

1

y' f(x,y)

九. (12分) 设求解初值问题 的计算格式为:

y(x0) y0

yn 1 yn h[af(xn,yn) bf(xn 1,yn 1)],假设y(xn) yn,y(xn 1) yn 1,试确定参数a,b的值,使该计算格式的局部截断误差为二阶,即截断部分为: o(h3).（注：原题中o(h2)

错误）

解：yn 1 yn h[af(xn,yn) bf(xn 1,yn 1) …… 此处隐藏：1334字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……