线性代数课件1-4 行列式习题课
时间：2025-04-27
线性代数课件
第一章 习题课
本章主要知识点： 1、 2、 3、 4、 行列式定义 行列式性质 按行按列展开法则 Cramer法则
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一、计算逆序数例1 计算下列排列的逆序数，并指出奇偶性.
2k 1 2k 1 2 2k 2 3 2k 3 L k 1 k0 1 2 1
1
2
2
3
3
k 1
k
于是排列的逆序数为t 0 1 1 2 2 k 1 k 1 k
k 1 k 1 2
k k
2
k 为偶数时，排列为偶排列， k 为奇数时，排列为奇排列.
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二、计算(证明)行列式1 用定义计算(证明) 例2 用行列式定义计算0 a 21 D 5 a 31 0 0 a 12 a 22 a 32 a 42 a 52 a 13 a 23 a 33 a 43 a 53 0 a 24 a 34 0 0 0 a 25 a 35 0 0
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解 设 D 5 中第 1 , 2 , 3 , 4 , 5 行的元素分别为a 3 p 3 , a 4 p 4 , a 5 p 5 , 那么，由 的非零元素分别得到p 1 2 , 3; p 3 1 , 2 , 3 ,4 ,5; p 1 , 2 , 3 ,4 ,5;2
a 1 p1 , a 2 p 2 ,
D 5 中第 1 , 2 , 3 , 4 , 5 行可能
p 2 , 3;4
p 5 2 ,3 .,
因为 p 1 , p 2 , p 3 , p 4 , p 5 在上述可能取的代码中 一个 5 元排列也不能组成， 故 D 5 0.
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评注 本例是从一般项入手，将行标按 标准顺序排列，讨论列标的所有可能取到的值， 并注意每一项的符号，这是用定义计算行列式 的一般方法. 注意如 果 一 个 n阶 行 列 式 中 等 于 零 的 元 素 比
n n还 多 ， 则 此 行 列 式 必 等 于 零 .2
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例3 设a 11 D1 a 21 a n1 a 12 a 22 an2 a1n a 2n a nn ,D2 a 11 a 21 b a n1 bn 1
a 12 b a 22 an2 b
1
a1n b a 2n b
1 n 2 n
,
n 2
a nn
证明： D1 D 2 .
而 中 t 是1排 列 p p p 1逆 2 数 . n , p p2 p L n 的 序 其 1 2 nt 1 p1 2 p2
证明 DD
1
( 1) a at
Lp2
ab
n pn2 p 2
2
( 1)
(a 1t
p1
b
1 p1
)( a 2
)L (a n
pn
b
n pn
)
( 1) a a1 p1
2 p2
L
an
n pn
b
( 1 2 L n ) ( p1 p 2 L p n )
( 1) a
t
1
p 1a 2 p 2
L
a
pn
D
1
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评注 本题证明两个行列式相等，即证明两点:
一是两个行列式有完全相同的项，二是每一项所带的符号相同. 这也是用定义证明两个行列式相等的常用方法.
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2
用化三角形行列式计算x a1 D n 1 a 1 a1n
例4 计算
a1 x a2 a2
a2 a2 x a3
a3 a3 a3 a4
an an an . x
x ai x ai D n 1 x aii 1 i 1 n i 1 n
a1 x a2
a2 a2 x a3
an an
1 1
a1 x a2 L a2
a2 a2 x L a3
L L L L L
an an an L x
x aii 1 n
n ( x a i) 1 an i 1 L x
a2
1
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1 1 D n 1 ( x a i)1i 1 n
0 x a1 a2 a1 a2 a1
0 0 x a2 a3 a2
0 0 0 x
an
1
( x a i ) ( x a i ).i 1 i 1
n
n
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评注
本题利用行列式的性质，采用“化零”的方法， 逐步将所给行列式化为三角形行列式. 化零时一般尽量选含有1的行(列)及含零 较多的行(列); 若没有1,则可适当选取便于化零的数，或 利用行列式性质将某行(列)中的某数化为1; 若所给行列式中元素间具有某些特点，则 应充分利用这些特点，应用行列式性质，以达 到化为三角形行列式之目的.
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3 用按行按列展开法则降阶计算例5 计算a D4 b c dc 2 c1 c 3 c1 c 4 c1
b a d c
c d a b
d c b a1 0 a b d c c d 0 d b a c b d 0 c b b c a dr1 r2 r3 r4 r1 ( a b c d ) ( a b c d )
1 b c d
1 a d c
1 d a b
1 c b a
(a b c d )
b c d
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按第 1 行展开，得a b (a b c d ) d c c dr1 r2 r1 ( a b c d )
d b a c b d
c b b c a d
1 ( a b c d )( a b c d ) d c c d
1 a c b d
0 b c , a d
c 2 c1
1 ( a b c d )( a b c d ) d c c d
0 a d b c
0 b c , a d
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按第 1 行展开，得
D 4 ( a b c d )( a b c d )2
a d b c2
b c a d
( a b c d )( a b c d )[ ( a d ) ( b c ) ] ( a b c d )( a b c d )( a b c d )( a b c d )
评注 本题是利用行列式的性质将所给行列式的 某行(列)化成只含有一个非零元素，然后按此行 (列)展开，每展开一次，行列式的阶数可降低 1阶， 如此继续进行，直到行列式能直接计算出来为止(一 般展开成二阶行列式).这种方法对阶数不高的数字 行列式比较适用.
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4 用拆成行列式之和计算例6Dn a x1 a a a a x2 aa 0 a x2 L a 0
L L L L
a a a xna 0 a 0 L a xn .
.
解Dn
a x1 a 0 L a 0
一共能拆成 2 n 个行列式的和，如果两列都取为 全为 a 的列，则对应的行列式为0,故
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x1 Dn 0 L 0
0 x2 L 0
L L L L
0 0 L xn
x1 0 L 0
a a L a
L L L L
0 0 L xn
a a L a
0 x2 L 0
L L L L
0 0 L xn L
x1 0 L 0
0 x2 L 0
L L L L1 i n i n
a a L a
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