求数列通项公式与数列求和习题

数列的通项公式与求和练习

练习1 数列{an}的前n项为Sn,且a1 1，an 1

(1)求a2,a3,a4的值及数列{an}的通项公式.(2)求a2 a4 a2n

13

Sn(n 1,2,3, )

练习2 数列{an}的前n项和记为Sn,已知a1 1，an 1

(1)数列{

Snn

是等比数列;

n 2n

Sn(n 1,2, ).证明:

(2)Sn 1 4an

练习 3 已知数列{an}的前n项为Sn，Sn

(1)求a1,a2;

(2)求证:数列{an}是等比数列.

13

(an 1)(n N)

*

练习4

已知数列{an}满足a1

12

,an 1 an

1n n

2

,求an.

练习 5 已知数列{an}满足,a1

练习6 已知数列{an}中,a1

56

23

,an 1

nn 1

an,求an.

,an 1

1

1n 1

an (),求an.32

练习7 已知数列{a}满足:a nn

练习8 等比数列

an 13 an 1 1

，a1 1,求数列{an}的通项公式.

{an}

的前n项和Sｎ＝2ｎ－１，则

a1 a2 a3 an

2222

5

练习9 求和：5，55，555，5555，…，9

(10 1)

n

，…；

1

练习10 求和：

1 4

14 7

1

(3n 2) (3n 1)

1

练习11 求和：

练习12 设

{an}

11 2

11 2 3

1

1 2 3 n

是等差数列，

{bn}

是各项都为正数的等比数列，且

a1 b1 1

，

a3 b5 21

，

an ba5 b3 13{an}{bn}S

（Ⅰ）求，的通项公式；（Ⅱ）求数列 n 的前n项和n．

答案

练习1答案：

a2

13,a3

49,a4

1627

42n

[() 1]733

1　　　　n 1

an 14n 2

()　n 2 33

练习2 证明： (1)

注意到：

a(n+1)=S(n+1)-S(n)

代入已知第二条式子得： S(n+1)-S(n)=S(n)*(n+2)/n nS(n+1)-nS(n)=S(n)*(n+2) nS(n+1)=S(n)*(2n+2) S(n+1)/(n+1)=S(n)/n*2

又S(1)/1=a(1)/1=1不等于0 所以{S(n)/n}是等比数列

(2)

由(1)知，

{S(n)/n}是以1为首项，2为公比的等比数列。

所以S(n)/n=1*2^(n-1)=2^(n-1) 即S(n)=n*2^(n-1) (*)

代入a(n+1)＝S(n)*(n+2)/n得 a(n+1)=(n+2)*2^(n-1) (n属于N) 即a(n)=(n+1)*2^(n-2) (n属于N且n>1)

又当n=1时上式也成立

所以a(n)=(n+1)*2^(n-2) (n属于N) 由(*)式得： S(n+1)=(n+1)*2^n =(n+1)*2^(n-2)*2^2 =(n+1)*2^(n-2)*4

对比以上两式可知：S(n+1)=4*a(n

练习3 答案： 1)

a1=S1=1/3(a1-1) a1=-1/2

a2=S2-S1=1/3(a2-1)+1/2 3a2=a2-1+3/2 2a2=1/2 a2=1/4 2)

3Sn=an-1

3S(n-1)=a(n-1)-1 相减： 3an=an-a(n-1) 2an=-a(n-1)

an/a(n-1)=-1/2

所以{an}为等比数列！

练习4 累加法，答案：

2

练习5 累乘法，答案： an

3n

1n1n

练习6 待定系数法，答案： an 3() 2()

2

3

an

32 1n

练习7 倒数法，答案： an

3n 2

4 1

n

1

练习8 公式法，答案：

3

n个

n个

5

(9 99 999 99 9)

Sn 5 55 555 55 59

练习9 答案：

523n

[(10 1) (10 1) (10 1) (10 1)]9

550523nn [10 10 10

10 n] (10 1) n9819

练习11，,列项相消法

1/(1+2+3+……+n)=1/[n(n+1)/2]=2/[n(n+1)] 所以原式=1+2/2*3+2/3*4+……+2/[n(n+1)] =1+2*[(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+……+(1/n-1/(n+1)] =1+2*[1/2-1/(n+1)] =2-2/(n+1)

练习12 （错位相减法）

4

1 2d q 21， 2

an b 1 4d q 13， qq 0n 答案：解：（Ⅰ）设的公差为d，的公比为，则依题意有且

解得d 2

anbn

2n 12

n 1

，

q 2

32

1

．所以

52

2

an 1

(n2n 12

n 1

1d)

n2 bn q

n 1

，

2

n 1

．（Ⅱ）

2n 12

n 2

．

Sn 1

2n 322

n 2

，①

2Sn 2 3

52

2n 32

n 3

，②

②－①得

Sn 2 2

22

22

2

2

n 2

2n 12

n 1

111 2n 1

2 2 1 2 n 2 n 1

2222 ，

1

2 2

1n 1

1

12

2n 12

n 1

6

2n 32

n 1

．