高等数学( 北大版)答案一习题1.5

高等数学( 北大版)答案

习题

1.5

1.试用 说法证明

x 0连续

(2)sin5x在任意一点x a连续.

证

(1) 0,要使| 2

.2

x2,只需

x2 ,|x| 取 则当|x| 时有 ,x 0连续.

(2)(1) 0,要使|sin5x sin5a| 2|cos

由于

2|cos5x 5a5(x a)||sin| .225x 5a5(x a)||sin| 5|x a|,只需5|x a| ,|x 22取 ,5

2.设y

| 时f(x) 0.证由于f(

x0|

时

f(x) f(

0.

3.设f(x)?证任取 时

|f(x) f

在x0连续.其逆命题

不真,4.(1)f(x) 解(1)limx 0

(2)limf a f(1) ln2,x 1 x 1 x 1 x 1

a ln2.

5.利用初等函数的连续性及定理3求下列极限:

(1)limx coslim cos0 1.x ex 0sin3x(2)limx 2(3)limex 0sin2xsin3xlimsin2x e.23

(4)limarctan arctan arctan1 .x x 4

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(5) x 6.设limf(x) a 0,limg(x) b,证明lim)f(x)g(x) ab.x x0x x0x x0

证lim)f(x)g(x) lim)e(lnf(x))g(x) ex x0

x x0x x0lim[(lnf(x))g(x)] eblna ab.

7.指出下列函数的间断点及其类型,若是可去间断点,请修改函数在该点的函数值,使之称为连续函数:

(1)f(x) cos (x [x]),间断点n Z,第一类间断点.

(2)f(x) sgn(sinx),间断点n ,n Z,第一类间断点.

x2

,x 1,(3)f(x) 间断点x 1,第一类间断点.

(4)f(x) (5)f(x) 8.设y fx0处间断.问函数h(解h(x) g(x) (f)在x0点

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