线性代数习题及答案4

线性代数测试题及答案

线性代数测试题（四）

一、选择题（每小题5分，共25分。）

1．已知四阶行列式D4第一行的元素依次为1，2，－1，－1，它们的余子式为2， -2，1，0，则D4

的值为【 】A． 3； B.； 5 C.3； D.5.

11.

01.

12．已知n阶矩阵A .

.

00.

C．-1； D．2.

..

.

1 1

,则A的所有元素的代数余子式之和等于 【】A．0； B．1； .. 1

3．设A是m n矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r，矩阵B AC的秩

r1，则【 】A．r r1； B．r r1； C．r r1； D．r与r1的关系依C而定.

4．设A为m n矩阵，齐次线性方程组Ax 0仅有零解的充分必要条件是【】A．A的列向量组线

性无关； B．A的列向量组线性相关； C．A的行向量组线性无关； D。A的行向量组线性相关.

5．设 是n阶可逆矩阵A的特征值，则PAP 是A的对应于 的特征向量，P是n阶可逆矩阵，

的对应于特征值

1

*

A

的特征向量是【 】A．P 1 ； B．P ； C．PT ； D．(PT) 1 .

二、填空题（将答案写在该题横线上。每小题5分，共25分。）

1．设A,B都是n阶正交矩阵，若 B 0，则A B ___________.2．已知AB B A，

1 20

0 ，则A ___________.3．已知向量组a1,a2,a3,a4.线性无关，若向其中B 21

002 __. 量组a1 ka2,a2 a3,a3 a4,a4 a1线性相关，则k __________

x1 x2 2x3 3x4 0

4． 若线性方程组 3x1 2x2 ax3 7x4 1无解，则常数a,b应满足的条件是_____________.

x x 6x x 2b

234 1

*

5．若4阶矩阵A与B相似，且A的特征值为1，2，3，4，则矩阵B E的全部特征值为

___________________.

三

、

计

算

证

明

题

（

50

分

）

1

(12

分

)

求

向

量

组

a1 (1,3,0,5),a2 (1,2,1,4),a3 (1,1,2,3),a4 (1, 3,6, 1)的一个极大线性无关组和秩.

2．(15分)设A为三阶实对称矩阵，且满足条件A 2A 0，已知A的秩r(A) 2

(1)求A的全部特征值； (2)当k为何值时，矩阵A kE为正定矩阵，其中E为三阶单位矩阵. 3．(15分)已知二次型f 2x1 3x2 3x3 2ax2x3(a 0)通过正交变换可化为标准形

2

2

22

f y1 2y2 5y3，求参数a及所用的正交变换.

4．(8分)设A是n阶矩阵，且满足A E，证明:r(A E) r(A E) n.

2

222

线性代数测试题及答案

线性代数测试题（四）

一、选择题（每小题5分，共25分。）1.D； 2.B； 3.C； 4.A； 5.A. 二、填空题（每小题5分，共25分。）

1 1

1．0； 2．

2 0

1210

0

0 ； 3．1； 4．a 8且b 1； 5．(23,11,7,5)． 2

T

T

T

T

三、计算证明题1．解：设A (a1,a2,a3,a4)，用初等行变换将A化为行阶梯形矩阵：

1 3A

0 5

1214

11 11 11 11 11

r 3r r r

3211 3 r20 1 2 60 1 2 6 r4 r2 4 5r1

（8分） 01 0026 26 00

3 1 00 0 1 2 6 00

易知，a1,a2为向量组a1,a2,a3,a4的一个极大线性无关组，它的秩为2. （4分）

2．解：(1)设 为A的一个特征值，对应的特征向量为 ，即A 于是

(A2 2A) ( 2 2 ) ，由于A2 2A 0，可知 2 2 0，解得 2, 0。

2

2 相似.（2分） 因为实对称矩阵A必可对角化，又r(A) 2，所以A应对角矩 0

因此的全部特征值为 1 2 2, 3 0. （1分）

(2)矩阵A kE为实对称矩阵，其特征值为 2 k, 2 k,k，（4分）于是当k 2时，矩阵

A kE的特征值都为正数，因此A kE为正定矩阵.

200

3.解：二次型f的矩阵为A 03a （1分）设所求的正交矩阵为Q，则QTAQ

0a3 200 1 200

T

2 ，两边取行列式，有QT 03a Q 2(9 a2) 10（2分） 即Q 03a Q

0a3 0a3 5

2

即2(9 a) 10，解得a 2( 0)又因为A的特征值为 1 1, 2 2, 3 5，故当 1时，T

解方程组(E A)X 0得特征向量 a1 (0,1, 1) （2分）当 2时，解方程组(2E A)X 0T

得特征向量 a2 (1,0,0) （2分）当 5时，解方程组(5E A)X 0得特征向量

线性代数测试题及答案

a2 (0,1,1)T （2分）显然a1，a2，a3是正交向量组，将它们单位化后得:

0 0 1

a2a3 1 a 1

0； 1 1 ； 3 2 . （3分） a1 2a2 0 a32 1

2 1 2

010 故所求的正交矩阵为Q ( 1

1

1, 2, 3)

0 2

12.

120

2

4.证明：由题设A2

E得(E A)(E A) 0,于是有

r(E A) r(E A) n

由

(E A) (E A) 2E

,n r(E) r(2E) r(E A) r(E A)，综上得 r(E A) r(E A) n.

（1分）

可知

1分）

（