立体几何题中的探索性问题(公开课教案)

主讲人：刘 冬 主讲人：

+ 引言：立体几何中的探究性问题既能够考

查我们的空间想象能力，又可以考查我们 的意志力及探究的能力.探究是一种科学 的精神，因此，也是命题的热点.一般此 类立体几何问题描述的是动态的过程，结 果具有不唯一性或者隐藏性，往往需要耐 心尝试及等价转化，因此，对于常见的探 究方法的总结和探究能力的锻炼是必不可 少的.

例一：在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,P是侧棱

AA1上任意一点，不论P在侧棱上任何位置， 是否总有BD⊥CP?说明你的理由；

D1 A1 P A B1 D B

C1

C

+ 传统方法： + 分析：对于这个探索性问题我们着重点放

+ + + +

在，无论P在什么位置都有CP ⊥ BD,所以想 到是否是去证明线面垂直问题，猜测CP ⊥ 面PAC,然后去证明。 解：因为PA ⊥ 面ABCD 所以直线PC在平面ABCD的射影为AC, 又因为AC ⊥ BD,所以无论点P在什么位置 PC ⊥ BD

向量法： 以DA,DC,DD1 分别为X,Y,Z轴建立空间直角坐标

系，设正四棱柱底面边长为a,侧棱长为b 所以D(0,0,0),B(a,a,o) Z P(a,o,z),C(0,a,0) 所以 D1

pc = ( a, a, z )DB = (a, a, o)

C1 B1

A1 P

DB PC = 0

D B

CY

所以无论点P在什么位置 X A DB ⊥ PC

小结：从上面的例题所用的两种不同的方 小结：

法，我们很容易知道若用传统的几何证明 的方法求这类探索性问题，需要猜测、 的方法求这类探索性问题，需要猜测、寻 找适合条件的点，然后证明， 找适合条件的点，然后证明，思维上造成 困难， 困难，而用空间向量只要设出变量 ，就可 利用向量运算解决很久以来的我们的难点 和困惑。 和困惑。

如图8-1,在棱长为1的正方体 ABCD-A 1B1 C1 D1 中，P 是侧棱 CC1上的一点， . CP=m (1)试确定m ,使直线AP 与平面 BB1 D 1D所成角 的正切值为3 2 ; (2)在线段 A 1C 1上是否存在一个定点 Q,使得 对任意的m ,D 1Q 在平面APD 1上的射影垂直于AP , 并证明你的结论.D1 C1 B1

A1

D

C B

A

图8-1

+ 以DA ,DC,DD1为X,Y,Z轴建立空间直角坐标系D-XYZ + 则A( 1,0,0)B(1,1,0)P(0,1,m)C(0,1,0)D(0,0,0)B1

(1,1,1)D 1 (0,0,1) + 所以 BD = ( 1, 1,0), BB1 = (0,0,1), AP = ( 1,1, m), AC = ( 1,1,0)AC BD = 0, AC BB1 = 0Z AC为面BB1 D1 D的法向量，设AP与平面BB1 D1 D所成的角为θ

sin θ =

AP AP

AC AC

=

2 2 2+m2

D1 B1

C1 P

又 tan θ = 3 2 解得m= 1 3 + 此时AP于平面BB1 D1 D的 + 正切值为 3 2

A1

D A B X

C

Y

+ 2)如在A 1C1 存在这样的点Q,设Q(x,1-x,1)D1Q = ( x,1 x,0)

的射影垂直于AP,等价于D 1 Q ⊥ AP + 所以 AP D1Q = 0 + 所以-X+(1+X)=0 1 解得X= 2 即Q为A1 C1 中点时，满足题设条件

+ 依题意，对任意的m要使D 1Q在平面APD1上

+ [规律小结 规律小结] 规律

小结 + 探究性问题一般具有一定的深度，需要深入

分析题目的条件和所问，根据题目的特征， 选用适当的解题方法.必要时，进行假设推 理，或者反证推理，往往也是进行图形推理 与代数推理的典型问题

课后练习,已知四棱锥S-ABCD的底面是边长为 4的正方形，S在底面上的射影O 落在正方形 ABCD内，且O 到AB、AD的距离分别为2,1 (1)求证：AB·SC是定值 (2)已知P是SC的中点，且 SO=3,问在棱SA上是否存在 一点Q,使异面直线OP与BQ所 成角为900?若不存在，说明 A 理由，若存在，求出AQ的长。Q D O B S P C