计算方法课件与综合练习

第十二讲 常微分方程数值解法

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第十二讲主要知识点 欧拉(Euler)方法、向后欧拉法、梯形法及梯形 法的预估校正法 欧拉法的收敛性 龙格-库塔方法、线性多步法、预估-校正法*。

一阶微分方程组与高阶微分方程的数值解法*

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问题的提出在解决科技领域的实际应用问题时，常微分方程求解 是常见的。本章着重讨论一阶方程初值问题

dy f ( x, y ), dx y ( x0 ) y0 , 的数值解法。对高阶方程和微分方程组的数值解， 其基本思想是完全一样的.解初值问题有多种解 析方法，但解析法只能对一些特殊类型的方程才 能求出其准确解，多数情况只能用近似方法求解。 初值问题的数值解法，就是寻求方程的解 y ( x) 在自变量 x 的一系列离散节点上的近似值。3

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问题的提出(续1) y f ( x, y ) 初值问题 y ( x0 ) y 0 求：精确解y ( x )在节点/

x1 x2 xn ,处的 近似解：y1 , y2 , y3 , y n , 4

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问题的提出(续2) 相邻两节点间的距离 hn xn 1 xn 称为步长，通 常在计算上采用相等的步长 hn h ,这时等距 节点

xn x0 nh ,n 0,1, 2, .

初值问题的数值解法的基本特点是：求解过程是 顺着节点排列的顺序一步一步的向前推进，即按 递推方法由已知的

y0 , y1 , , yn 求出 yn 1 。所

以，初值问题的数值解法就是建立这种递推公式。

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问题的提出(续3)将微分方程两端从

xn 到 xn 1xn 1 xn

积分，得

y( xn 1 ) y( xn )

f ( x, y( x)) dx (n 0,1, 2, )

这样，求原初值问题式的解，转化为求问题式

的解,利用各种求积公式就可以得到一些求 y ( xn )的近似公式。

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Euler 方法(推导2) 差商方法

y ( xn 1 ) y ( xn ) / y f ( x, y ) h y ( x0 ) y 0 y n 1 y n hf ( xn , y n ) y ( x0 ) y 0 7

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Euler方法 数值积分方法

y / f ( x, y ( x )在[ x, x h ]上积分， 得 y ( x h ) y ( x ) f (t , y (t ))dtx xn h x h

当x xn时，有 y ( xn h ) y ( xn ) xn

f (t , y (t ))dt

xn h

xn

f (t , y (t ))dt hf ( xn , y ( xn ))8

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Euler方法(续) 数值积分方法

y ( xn h ) y ( x n ) hf ( xn , y ( xn ))

xn h xn

f (t , y (t ))dt

(看成矩形)

yn 1 yn hf ( xn , yn ) y 0 y ( x0 ) 9

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隐式Euler方法 向后差商

y ( xn 1 ) y ( xn ) / y f ( x, y ) h y ( x0 ) y 0 y n 1 y n hf ( xn 1 , y n 1 ) y ( x0 ) y 0 10

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二步Euler方法 中心差商

y ( xn 1 ) y ( xn 1 ) / y f ( x, y ) 2h y ( x0 ) y 0 y n 1 y n

1 hf ( xn , y n ) y ( x0 ) y 0 11

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梯形公式y ( xn h ) y ( xn ) xn h xn

f (t , y (t )dt

h [ f ( xn , y ( xn ) f ( xn 1 , y ( xn 1 )] 2 h yn 1 yn [ f ( xn , yn ) f ( xn 1 , yn 1 )] 2 y 0 y ( x0 ) 12

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梯形公式(续) 梯形公式(见上页),实际上是Euler方法和隐式 Euler方法的算术平均。 梯形公式的精度为二阶。 例：用梯形公式求下列初值问题的解在

x 0.01上的值y(0.01).

dy y dx

,

y (0) 113

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改进的Euler方法 改进的Euler方法为Euler方法和梯形公式的结合， 也称作预估---校正法。

y n 1 y n hf ( xn , y n ) h y n 1 y n [ f ( xn , yn ) f ( xn 1 , y n 1 )] 2 y 0 y ( x0 ) 14

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改进的Euler方法(续1) 嵌套形式

h yn 1 yn [ f ( xn , yn ) f ( xn 1 , yn hf ( xn , yn ))] 2 yn 1

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改进的Euler方法(续2)平均化形式 h yn 1 yn ( k1 k 2 ) 2 k1 f ( xn , yn ) k 2 f ( xn 1 , y n 1 ) f ( xn 1 , yn hf ( xn , yn )) f ( xn 1 , yn hk1 )16