复变函数与积分变换第2章2.5调和函数

第二章

导数

§2.5 调和函数 学习要点 掌握解析函数与调和函数的关系 掌握如何由调和函数构造解析函数

主要内容一、调和函数的概念 二、解析函数与调和函数的关系 三、由调和函数构造解析函数

一、调和函数的概念定义 如果二元实变函数 ( x , y ) 在区域 D内具 有二阶连续偏导数 , 并且满足拉普拉斯方程 2 0, 2 x y2 2

那么称 ( x , y ) 为区域 D 内的调和函数 . 注： 2 2 称为Lplace算子 x y 调和函数在流体力学和电磁场理论等实际问 题中有很重要的应用.2 2

二、解析函数与调和函数的关系1. 两者的关系 定理 任何在区域 D 内解析的函数,它的实部 和虚部都是 D 内的调和函数. 注意：逆命题不成立例如 设f ( z ) x iy,则u( x , y ), v ( x , y )都是 z平面上的调和函数 ,但f ( z ) x iy,在z平面上处处不解析.

证 设w f ( z ) u iv 为 D 内的一个解析函数 , u v u v 那么 , . x y y x 2 u 2v 从而 , 2 x y x 2u 2v . 2 y x y

2v 2v u与 v具有任意阶的连续偏导数 , y x x y 2u 2u 从而 2 0, 同理 2 x y 2v 2v 2 0, 2 x y

因此 u 与 v 都是调和函数 .

[证毕]

2. 共轭调和函数设u( x , y ),v ( x , y )为区域D内给定的调和 函数 , 若u iv在D内构成解析函数，则 v ( x , y )称为u( x , y )的共轭调和函数 .

换种说法： u v u v 在 D 内满足方程 , 的 x y y x 两个调和函数中, v 称为 u 的共轭调和函数 .

亦即，区域D内的解析函数的虚部为实部 的共轭调和函数.

三、 由调和函数构造解析函数 如果已知一个调和函数 u, 那么就可以利用柯 西-黎曼方程求得它的共轭调和函数v, 从而 构成一个解析函数u+vi. 1. 偏积分法若已知实部u u( x , y ),利用C R方程先求 v u 得虚部v的偏导数 y x

u 两边对y积分得v dy g( x ) x

v u 再由 , 可得 x y u u dy g ( x ) x x y

u u g( x ) dy dx C x x y

于是得到虚部，其中C为任意常数

2. 线积分法利用C-R方程可得 v v u u dv dx dy dx dy x y y x u u dy ) C 故虚部为 v ( x , y ) ( dx 0 0 y x( x, y)

由于该积分与路径无关，可选简单路径计算

例1 证明 u( x , y ) y 3 x y 为调和函数 , 并求其共轭调和函数 v ( x , y ) 和由它 们构成的解析函数 .3 2

例2 已知 v ( x , y ) e ( y cos y x sin y ) x y 为调和函数

, 求一解析函数 f ( z ) u iv , 使 f (0) 0.x

3 2 证明 u ( x , y ) y 3 x y 为调和函数 , 例1 并求其共轭调和函数 v ( x , y ) 和由它

们构成的解析函数 .

u 6 xy , 解 因为 x u 2 2 3 y 3x , y2 2

2u 6 y , 2 x 2u 6 y, 2 y

u u 于是 2 0, 故 u( x , y ) 为调和函数. 2 x y

解法1 偏积分法 v u 因为 6 xy , y xv 6 xydy 3 xy 2 g ( x ),

v u 2 3 y g ( x ) 3 y 2 3 x 2 , x y故 g ( x ) 3 x 2 dx x 3 c ,v ( x , y ) x 3 3 xy 2 c , (c 为任意常数 )

得解析函数 w y 3 3 x 2 y i ( x 3 3 xy 2 c ).

2. 线积分法 u u v ( dx dy ) C ( x0 , y0 ) y x( x, y)

( x, y)

(0,0)

( 3 y 3 x )dx 6 xydy ) C2 2

3 x dx 6 xydy C2 0 0

x

y

x 3 3 xy 2 C

得解析函数 w y 3 3 x 2 y i ( x 3 3 xy 2 c ).

x 已知 v ( x , y ) e ( y cos y x sin y ) x y 例2 为调和函数 , 求一解析函数 f ( z ) u iv ,

使 f (0) 0.

v x e ( y cos y x sin y sin y ) 1, 解 x v e x (cos y y sin y x cos y ) 1, y u u v v 由du dx dy dx dy x y y x得 u ( x, y) (0,0)

v v dx dy y x

u( x , y ) [e x (1 x ) 1]dx0

x

[e ( y cos y x sin y sin y ) 1]dyx 0

y

xe cos y ye sin y x y c f ( z ) u ivx x

( x iy )e x (cos y i sin y ) (1 i )( x iy ) c ze (1 i ) z c ,z

由 f (0) 0 c 0

所求解析函数为 f ( z ) ze (1 i ) z .z

3. 不定积分法解析函数 f ( z ) u iv 的导数仍为解析函数 ,且 f ( z ) ux iv x ux iu y v y iv x

把 ux iuy或 v y iv x 用 z 来表示,若已知实部 u 求 f ( z ), 则

f ( z ) ux iuy U ( z ) f ( z ) U ( z )dz c ,若已知虚部 v 求 f ( z ), 则

f ( z ) v y iv x V ( z ) f ( z ) V ( z )dz c ,