王明慈_概率论与数理统计

习题五

1.设抽样得到样本观测值为：

38.2 40.0 42.4 37.6 39.2 41.0 44.0 43.2 38.8 40.6

计算样本均值、样本标准差、样本方差与样本二阶中心矩。

10

__

1

10 __

2 2 2 2

1

10 __

2 2 2

1

__

2 2

1 1

: (38.2+40.0+42.4+37.6+39.2+41.0+44.0+43.2+38.8+40.6) 40.5;

10 10

1 1

( ) [(38.2 40.5) (40.0 40.5) (40.6 40.5) ] 2.1587;

9 9

1

( ) 2.1587 4.66;

9

1

( )

10

王明慈_概率论与数理统计

i

i

i

i

x x

s x x

s x x

x x σ

=

=

=

= = =

= = + + + =

= = =

=

∑

∑

∑

～

…

解

10

2

1

9

4.194.

王明慈_概率论与数理统计

=

= = ∑

2.设抽样得到100个样本观测值如下：

计算样本均值、样本方差与样本二阶中心矩。

解：由书上127页（5.20）（5.21）（5.22）式可知：

6 ___

1

6 ___

2 2 2 2

1

6

___

2 2

1

1 1

(1 15 2 21 3 25 4 20 5 12 6 7) 3.14;

100 100

1 1

( ) [(1 3.14) 15 (6 3.14) 7] 2.1216;

99 99

1 99

( ) 2.1216 2.1004.

100 100

i i

i

i i

王明慈_概率论与数理统计

x xn

s x x n

x x n σ

=

=

=

= = × + × + × + × + × + × =

= = × + + × =

= = × =

∑

∑

∑

～

…

3.略

4.从总体中抽取容量为n的样本 ，设c为任意常数，k为任意正数，作变换

1

, ,

n

X X …

( ), 1,2, , .

i i

Y k X c i n = =

证 明 ：（1） （2） 其中 及 分别是 的样本均值及样本 ;

Y

X c

王明慈_概率论与数理统计

2

2

;

y

x

S

S

k

= X

2

x

S

1

, ,

n

X X …

方差； 及 分别是 的样本均值及样本方差。

2

y

S

1

, ,

n

Y Y …

证明（1） 由 得

1

Y

王明慈_概率论与数理统计

i

i

X X

n

=

= ∑ ( )

i i

Y k X c =

i

i

Y

X c

k

= +

1 1

1 1 1

( )

n n

i

i

i i

Y Y

X c Y nc c

n k k n n k

= =

∴ = + = + = +

王明慈_概率论与数理统计

观测值

i

x

1 2 3 4 5 6

频数

i

n

15 21 25 20 12 7

（2）

( ) ( )

( )

2

2 2

1 1

2

2 2 2 2

1 1

2

2

2

1 1

( )

1 1

( )

n n

y i i

i i

王明慈_概率论与数理统计

y

x

S Y Y k X c kX kc

n n

kX kX k X X k S

n n

S

S

k

= =

= =

= =

= = =

∴ =

∑ ∑

∑ ∑

5. 从总体中抽取两组样本，其容量分别为 及 ，设两组的样本均值分别为 及 ，

1

n

2

n

1

X

2

X

王明慈_概率论与数理统计

S

2

2

S

1 2

n n +

证明：（1）.联合样本的样本均值 ；

1 1 2 2

1 2

n X n X

X

n n

+

=

+

（2）.联合样本的样本方差

( ) ( ) ( )

( )( )

2

2 2

1 2 1 2

1 1 2 2 2

1 2 1 2 1 2

1 1

1 1

nn X X n S n S

王明慈_概率论与数理统计

+

= +

+ + +

证明：（1）

1 1 1 2 2 2

1 2 1 1 2 2

1 2 1 2

,

um um

um um

S n X S n X

S S n X n X

X

n n n n

= =

+ +

= =

+ +

（2）

1 2

1 2

2 2

1 2

2 1 1

1 2

2 2

1 1 1 2 2 2

王明慈_概率论与数理统计

1

( ) ( )

1

n n

i i

i i

n n

i i

X X X X

S

n n

X X X X X X X X

n n

= =

= =

+

=

+

+ + +

=

+

∑ ∑

∑ ∑

( ) ( ) ( )( )

( )

( ) ( )

王明慈_概率论与数理统计

2

1 1 1

1

2 2

1 1 1 1 1 1

1

2

2

1 1 1 1

1

2

2

1 1 1 1

( )

2

( ) 0

1

n

i

i

n

i i

i

n

i

i

王明慈_概率论与数理统计

n S n X X

=

=

=

+

= + +

= + +

= +

∑

∑

∑

又

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2

2

2 2 2

1

2

2

2 2 2 2

2 2

1 1 2 2

王明慈_概率论与数理统计

1 1 1 1 1 2 2 2 2 2

( )

1

2 2

2 2

n

i

i

X X X X

n S n X X

n X X n X X

n X X X X n X X X X

n X n X X n X n X n X X n X

=

+

= +

+

= + + +

= + + +

∑ 同理

而

( )

( )

( )

( )

( )

王明慈_概率论与数理统计

1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2

2 2

1 1 1 2 2 2 2

1 2 1 2

1 2

2 2

n X n X

X

n n

n X n X n X n X n X n X n X n X

n X n n n X

n n n n

n n

+

=

+

+ + +

∴ = + + +

+ +

+

又

化简得

( )

( ) ( ) ( )

( )( )

2

王明慈_概率论与数理统计

2 2

1 2 1 2

1 1 2 2 2

1 2 1 2 1 2

1 1

1 1

nn X X

n n

nn X X n S n S

S

n n n n n n

=

+

+

∴ = +

+ + +

6设随 机 变 量X,Y,Z相互 独 立 ， 都 服 从 标 准 正 态 分 布N.(0, 1),求随 机 变 量 函 数 的分布函数与概率密度；并验证§5.4定理1当k=3时成立，即U～

2 2 2

U X Y Z = + +

( )

2

3 χ

解：X,Y,Z相互独立且都服从N(0, 1),则U～ 显然 ( )

2