解答与完全平方数有关的竞赛题方法

如下文章已经刊登于2013年12月《中学教研-数学》杂志第39页至40页

解答与“完全平方数”有关的竞赛试题的一般方法

518076 广东省深圳市南山区蛇口中学 王远征

在数学竞赛试卷中，频繁出现这样的一类问题：“求自然数n，使得关于n的一个二次多项式n an b的值是完全平方数，（a,b为常数）”．在此，笔者给出解答这类问题的一般方法，即设参数、配方，对多项式分解因式，同时对常数分解成整数乘积的形式，然后构造方程组，进而求出满足题设条件的自然数n和所设参数的值．举例介绍如下：

例1．已知n是自然数，且n 17n 73是完全平方数，那么n的值是或 （第13届希望杯初二年级（第一试）试题）

解析：依题意设n 17n 73=m，（m是自然数）．

配方得：(2n 17) 3=4m，移项，并对多项式分解因式，且把常数 3也分解成两个整数乘积的形式，于是得： 222222

(2n 17 2m)(2n 17 2m) 3 1 3 3 1，

因为m,n都是自然数，所以2n 17 2m和2n 17 2m都是整数，

且2n 17 2m 2n 17 2m。于是有：

2n 17 2m 3 2n 17 2m 1 n 9 n 8或，分别解得：或 。 2n 17 2m 12n 17 2m 3m 1m 1

故n的值是8或9．

该方法通俗易懂，有普遍的实用性，且解题过程简洁明了，易于被掌握和应用。 例题2．关于m,n的方程1113的整数解 m,n = 。 2mnmn4

（2013年上海数学竞赛新知杯第6题）

解析：视为“m”为常数，由原方程整理成关于n的一元二次方程得：

4 3m n2 4mn 4 0

此方程有整数解的必要条件是： 16m 48m 64是完全平方数。

因为16m 48m 64 2[ 2m 3 7]是完全平方数，可设k 2m 3 7，222222

则(k 2m 3)(k 2m 3) 7 1 7 1 ( 7)。

因为k 2m 3 k 2m 3。所以

k 2m 3 1 k 2m 3 7 m 3 m 3或，解得或 k 2m 3 7 k 2m 3 1 k 4 k 4

于是：n 4m 2k2 2或（舍去）故整数解 m,n =(3,2)。 24 3m5

例题2通过对分式方程去分母整理成关于n的一元二次方程，根据方程有整数解的必要条件是判别式为完全平方数，将例题2转化为例1相似的问题来处理。

例题3．求能使2 256是完全平方数的正整数n的值。（2011年全国初中数学联赛） 解析：依题意设2 256=m，m是正整数。则(m 16)(m 16) 2，可设n2nn

n x y，其中x，y都是正整数。且x<y.于是

x 1 m 16 2, y 2 m 16 2

由（2）—(1)得：22

则n x y=11. x y x 1 25 1，则2x 25且2y x 1 1，解得：x 5,y 6，

此题将2n表示成2x 2y的形式，以便为使用例题1提供解题方法创造条件。

例题4．已知直角三角形的边长均为整数，周长为60，求它的外接圆的面积。（2012年全国初中数学竞赛第二试（B）试题）

解析：设直角三角形的三边长依次为a、（a、且为a b c），b、b、c，c均为正整数，

外接圆的面积为s.。则

a b c 60(1) 222 a b c (2)

(3) s c2

4

由（1）得：a b 60 c （4）

由（2）得：c (a b) 2ab （5)

将（4）代入（5）化简得： ab 1800 60c （6）

由（4）和（6）知：a、b是关于x的一元二次方程： 22

x2 (c 60)x 1800 60c 0的两个正整数根。 （7）

则方程（7）的判别式的值必为正整数的平方，不妨设：

c 60 2 4 1 1800 60c m2 （m为正整数）

由上式恒等变形得： c 60 m 7200。 22

即 c 60 m c 60 m 2 3 5。 522

整数7200共有因数 5 1 2 1 2 1 54个，则将整数7200分解成两个正整数乘积的

形式可以写出54 27个。 2

60 c m 0，所以60 c m 0，则c m 60。 2

而3c a b c 60且2c a b c 60，即20 c 30。则80 c 60 90，而 0 c 60 m 60 c m。 因为方程（7）的根为：x

故在27种不同的写成两个正整数乘积的表现形式中，只有如下两种分解方式符合题意：

60 c m 72 60 c m 80或。 60 c m 100 60 c m 90

分别解得 c 26 c 25625 或 。于是s 或s 169 。 m 14m 54

参考文献：

1. 吴其明 骆华 《希望杯数学能力培训教程（初二）》【M】 气象出版社2008年10月.

2. 2012年全国初中数学联合竞赛试题参考答案 中学生数学【J】2012年第9期P30---35.

3. 王远征 一道联赛试题的“通俗”解答 中学生数学【J】2013年第10期P28

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