高中数学必修5人教A教案2.5等比数列的前n项和

时间:2025-07-10

2.5等比数列的前n项和

(一)教学目标

1、 知识与技能:掌握等比数列的前n项和公式,并用公式解决实际问题

2、 过程与方法:由研究等比数列的结构特点推导出等比数列的前n项和公式

3、 情态与价值:从“错位相减法”这种算法中,体会“消除差别”,培养化简的能力

(二)教学重、难点

重点:使学生掌握等比数列的前n项和公式,用等比数列的前n项和公式解决实际问题 难点:由研究等比数列的结构特点推导出等比数列的前n项和公式

(三)学法与教学用具

学法:由等比数列的结构特点推导出前n项和公式,从而利用公式解决实际问题

教学用具:投影仪

(四)教学设想

教材开头的问题可以转化成求首项为1,公比为2的等比数列的前64项的和.类似于等差数列,我们有必要探讨等比数列的前n项和公式。

一般地,对于等比数列

a1,a2,a3,..., an,...

它的前n项和是

Sn= a1+a2+a3+...+an

由等比数列的通项公式,上式可以写成

Sn= a1+a1q + a1q2 +...+a1qn-1 ①

① 式两边同乘以公比q 得

qSn= a1q+ a1q2 +...+a1qn-1+ a1qn ②

①,②的右边有很多相同的项,用①的两边分别减去②的两边,得

(1-q)Sn= a1-a1qn

当q≠1时,

a1(1 qn) Sn= (q≠1) 1 q

又an =a1qn-1 所以上式也可写成

Sn=a1 anq(q≠1) 1 q

推导出等比数列的前n项和公式,本节开头的问题就可以解决了

[相关问题]

①当q=1时,等比数列的前n项和公式为Sn=na1

a1(1 qn)a1(qn 1)② 公式可变形为Sn==(思考q>1和q<1时分别使用哪个方便) 1 qq 1

③ 如果已知a1, an,q,n,Sn五个量中的任意三个就可以求出其余两个

[例题分析]

例1 求下列等比数列前8项的和:

(1)111,,,...; 248

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