图1

解析：小球的运动情况和受力情况与单摆很相似，并且R r，摆角 5，满足单摆周期公式的使用条件，其运动可看成类单摆运动，可用单摆知识处理，其等效摆长为l R r，其振动周期为T

tN

，由单摆的周期公式T 2

gt

22

2

lg

，

得R r

gT4

22

gt

2

2

2

4 N

，有R

4 N

r。

2. 了解汽车、火车振动系统的固有频率

[例2] 支持列车车厢的弹簧固有频率为2Hz，若列车行驶在每根长为12.5m的钢轨连成的铁道上，则当列车运行速度多大时，车厢振动的剧烈程度最大？

解析：列车运行时，车轮每通过相邻的两根铁轨的连接处时，就会受到一次撞击，所以车厢和弹簧构成的振动系统就在这个周期性变化的撞击力——驱动力的作用下做受迫振动，驱动力的周期为

1v

，故由共振条件可知，当驱动力的频率f驱

vl

f固 2Hz时，列

车车厢发生共振，解得v 25m/s。当火车以这一速度行驶时车厢振动最剧烈，对车的破坏性最大，为了延长车的使用寿命，火车行驶时应远离这一速度。

[例3] 卡车在水平道路上行驶，货物随车厢底板上下振动而不脱离底板。设货物的振动为简谐运动，以向上的位移为正，其振动图象如图2所示，在图象中取a、b、c、d四点，则下列说法中正确的是（ ）

A. a点对应的时刻，货物对车厢底板的压力最小 B. b点对应的时刻，货物对车厢底板的压力最大 C. c点对应的时刻，货物对车厢底板的压力最大

D. d点对应的时刻，货物对车厢底板的压力等于货物重力

图2

解析：重力与车厢底板的支持力的合力充当货物振动的回复力，在a点对应时刻，位移为正向最大，则加速度为负向最大。根据牛顿第二定律有mg FN mam，所以

FN最小，在b、d时刻，位移为零，则加速度为零，应有压FN mg mam，压力FN

FN mg。在c点对应时刻，位移为负向最大，则加速度为正向最大，有力FN

FN最大。 FN mg mam，所以FN mg mam，压力FN

答案：ACD

3. 与人体有关的振动

[例4] 人体在水平方向的固有频率约为3～6Hz，在竖直方向的固有频率约为4~8Hz，有

关部门作出规定：拖拉机、风镐、风铲、铆钉机等各类振动机械的工作频率必须大于20Hz，其中原因是（ ）

A. 可以使这些机械工作效率更高； B. 可以使这些机械工作时更节约能源；

C. 可以防止操作工人人体发生共振而损害健康； D. 以上说法都不正确。

解析：拖拉机、风镐、风铲、铆钉机多是人们常见的机械，振动机械工作时对施工工人有固有周期性驱动力，为防止共振，应使振动机械的工作频率远离人的固有频率，故答案为C。

[例5] 已知心电图仪的出纸速度（纸带移动的速度）是2.5cm/s，如图2所示是用此仪器记录下的某人的心电图（图中每个方格的边长为0.5cm）

（1）由图可知此人的心率为_____ 次／分，他的心脏每跳一次所需时间是_____s。

（2）如果人的心脏每一次大约输送8 10

4

5

m的血液，正常人血压（可看作心脏压送

3

血液的压强）的平均值为1.5 10Pa，若某人心跳每分钟70次，据此估测心脏工作的平均功率为 W。

图1

解析：

（1）图中相邻峰值间的距离s 4.0 0.5cm 2.0cm，从而此人的心率

f

vs

2.5 602.0

=75次/分，心脏每跳动一次所用时间t

1sf

6075

s 0.8s。

（2）把每一次输送的血液简化成一个圆柱体模型，输送位移为该圆柱体的高，设血管的横截面积为S，血压为p，则压力F pS，每送一次位移为L，由功率的定义可得P

FL t

PSL t

p V t

1.5 10 8 10

6070

4

5

Wt

1.4W。

小结：本题是物理和生物、数学的综合测试题，结合综合能力测试要求，有关环保和人类生存条件的考察成为近年来高考热点之一。解决本题的关键在于将实际问题物理模型化，这也是学好物理的重要方法，可设想心脏在输送血液时，类似于圆形气缸中气体膨胀推动活塞对外做功的模型，问题就迎刃而解了。 4. 用单摆测山的高度

[例6] 有几个登山运动员登上一无名山峰，但不知此山峰的高度，他们想迅速估测出山峰的海拔高度，但是他们只带了一些细绳、小刀、卷尺，可当作秒表用的手表和一些食品，附近有碎石，树木等，其中一个人根据物理知识很快就测出了海拔高度。请写出测量方法，需记录的数据，推导出计算海拔高度的计算式。

解析：用细绳和小石块做成一单摆，用卷尺测出它的摆长l，利用秒表测出它的周期T，由此计算出山顶的重力加速度g

4 lT

22

。因为地面的重力加速度g0

GMR

2

，山顶的重力