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第二章变分法的基本知识

简例

§2-1变分法问题的简例第一节第二节第三节第四节第五节第六节变分法问题的简例函数与泛函的比较变分的若干运算变分学中的若干基本定理几类泛函的驻值问题 Euler方程

简例1、过两点连线长度最短问题。简例2、弹性基础梁问题。简例3、重力场下最速降落问题。研究泛函极值(驻值)的问题，称为变分问题；研究泛函极值(驻值)的近似方法，称为变分方法；变分的命题实质上就是求泛函的极值或驻值问题。

条件驻值与无条件驻值问题 Lagrange Multiplier Method

第二章变分法的基本知识

泛函的定义

第二节函数与泛函的比较

自变函数的变分

§2-2函数与泛函的比较1、泛函的定义

2、泛函自变函数的变分定义 y (x )在 y1 ( x)附近的增量为变分：

I= I[ y(x)]

δy(x)= y(x) y1(x); y ( x )∈ R1(函数集合)定义域I∈ R2

根据 y (x )与 y1 ( x)的接近情况有不同的接近度： 0阶接近度：δy (x)很小，而δy ' ( x),δy" ( x), ,δy ( n ) ( x)并不很小。

(实数集合)值域

泛函是函数空间到实数空间的映射。简称泛函就是函数的函数。

1阶接近度：δy ( x)=εη ( x),δy ' ( x)=εη ' ( x) n阶接近度：δy ( x)=εη ( x), ,δy ( n ) ( x)=εη ( n ) ( x)ε→ 0

第二节函数与泛函的比较

泛函的连续性

第二节函数与泛函的比较

线性泛函

3、泛函的连续性泛函 I= I[ y (x )]在 y ( x)= y1 ( x)处的k阶接近度地连续，即：当 y(x) y (x)<δ 1

4、线性泛函1) I[α y ( x )]=α I[ y ( x )] 2) I y1(x)+ y2 (x)= I y1(x)+ I y2 (x)

y' (x) y1' (x)<δ y(k) (x) y(1k) (x)<δ时， I[ y( x)] I[y ( x)]<ε .1

[

][

][

]

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第二节函数与泛函的比较

泛函的变分

第二节函数与泛函的比较

泛函的驻值与极值

5、泛函的变分ΔI= I[ y ( x )+δ y ( x )] I[ y ( x )]

6、泛函的驻值与极值1)若泛函 I= I[ y (x)]可变分，在 y= y0 ( x)处达到极值时，则：

= L[ y ( x ),δy ( x )]+β[ y ( x ),δy ( x )] maxδy ( x)

当δy ( x)→ 0时，有：maxδy ( x)→ 0,β[ y ( x),δy ( x)]→ 0

δI= L[ y ( x),δy ( x )]= 0称 y= y0 ( x)为极值函数(或曲线)。

δI= L[ y ( x ),δy ( x )]是ΔI的线性主部，称为

泛函的一阶变分。

第二节函数与泛函的比较

泛函的驻值与极值

第二节函数与泛函的比较

极值的必要和充分条件

2)泛函的驻值与极值当δI= L[ y ( x),δy ( x)]= 0时，称 y= y0 ( x)处的泛函 I= I[ y0 ( x)]为驻值。再若在 y= y0 ( x)附近为零阶接近度或一阶接近度的泛函均不大于(或小于) I= I[ y0 ( x)]时，称 I= I[ y0 ( x)]为极大(极小)值。对零阶

接近度称为强变分极值。对一阶接近度称为弱变分极值。

3)极值的必要条件和充分条件必要条件：δI= L[ y ( x),δy ( x )]= 0充分条件： δI= 0 2 δ I≠ 0当δ 2 I< 0时，有弱极大值。当δ 2 I> 0时，有弱极小值。当δ 2 I= 0时，可能极值，也有可能无极值。若δ 2 I可正、可负时，不会有极值，只能有驻值。

第二章变分法的基本知识

变分的运算

第三节变分的若干运算

变分的运算法则

§2-3变分的若干运算'设泛函 F[x, y ( x ), y ( x )]

变分的运算法则完全类似于微分的法则，例： dy d ' ' 1)δ ( )= (δy ),δy= (δy ) dx dx 2)δy ( n )= (δy ) ( n ) 3)δ ( F1+ F2 )=δF1+δF2 4)δ ( F1 F2 )=δF1+δF2 5)δ ( F1 F2 )= ( F2δF1 F1δF2 ) F22n n 1 6)δ ( F )= nFδF' ' 7)δ∫x F ( x, y, y )dx=∫xδF ( x, y, y )dx1 1

一阶变分：δ F

=

F Fδy+ 'δy ' y y

δ2二阶变分： F=δ (δF )=

2F 2F 2Fδyδy+ 2δyδy '+ ' 2δy 'δy ' 2 ' y y y y

…… n阶变分：

δ F=δ (δn

( n 1)

F)

x2

x2

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第二章变分法的基本知识

基本定理

第四节变分学的若干基本定理

内积的定义

§2-4变分学中的若干基本定理1、Basic Variational Theorem条件：A是对称的正算子，即 ( Au, v )= ( Av, u ) ( Au, u )= > 0, ( u≠ 0 ) = 0, (u= 0 )

(内积的定义： Au, v)=∫Ωv AudΩ

线性算子：T (αx1+βx2 )=αTx1+ Tx2有界算子： Tx Y= K xX

(对称算子条件) (正算子条件)

内积空间：具有内积结构的线性空间。希尔伯特空间：完备化后的内积空间。泛函分析：研究拓扑线性空间到拓扑线性空间映射的理论。

那么(1)当 Au= f有解时，必为唯一解； (2)且该解使泛函 J= (Au,u) 2(u, f )= min; (3)反之由 J= min得到的解也必然是 Au= f的解。

第四节变分学的若干基本定理

基本变分定理

第四节变分学的若干基本定理

基本变分定理

证明(1)唯一解利用反证法，若有两个解u1、u2,那么：Au1= Au 2= f A(u1 u 2 )= 0

证明(2) J= ( Au, u ) 2(u, f )= min设u0是 Au= f的解，即 Au0= f,则：J (u )= ( Au, u ) 2(u, f )

= ( Au, u ) 2(u, Au0 )

由： A(u1 u2 ),(u1 u2 ))= 0 u1 u2= 0 u1= u2 (解的唯一性得证。

= ( A(u u0 ), (u u0 )) ( Au0, u0 )u当： u0= 0时， J (u )才具有极小值。

故 J min (u )= ( Au0, u0 )= ( f, u0 ),解 u= u0必使 J (u )取极小值。

第四节变分学的若干基本定理

基本变分定理

第四节变分学的若干基本定理

基本变分定理

证明(3)由 J= min的解也必然是 Au= f的解等价：若 J (u0 )= J min (u ),那么u0为 Au= f的解。

设η为任意函数，λ为任意实数。有 J (u0+λη ) J (u0 )≥ 0,展开后得：

简化后得：2λ (( Au0 f ),η )+λ2 ( Aη,η )≥ 0

因为λ任意实数，那么要求：2λ (( Au0 f ),η )= 0

又因η为任意函数，那么要求：

( A(u0+λη),(u0+λη) 2((u0+λη), f ) [( Au0, u0 ) 2(u0, f )]≥ 0

Au 0 f= 0即 Au 0= f。故 u 0是 Au f= 0的解得证。

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第四节变分学的若干基本定理

变分引理

第四节变分学的若干基本定理

局部变分原理

2、Lagrange Variational Principle设 M ( x )在区间[x 0, x 1]内连续， 3、Local Variational Principle (1)固定边界：宗量的边界值是强加的。 (2)可动边界：宗量的边界值是任意的。而由泛函变分δ V= 0导出在可动边界上得到的边界条件，称为自然边界条件(Natural Boundary Condition)。

η ( x )及其一阶导数在区间[x 0, x 1]上连续，并且满足则：当

η ( x0 )= 0,η ( x1 )= 0

∫

的任一函数。 M ( x )η ( x ) dx= 0时， x0x1

必有 M ( x)≡ 0, x∈[x0, x1]。说明：变分引理可推广应用到多维问题。

第四节变分学的若干基本定理

局部变分原理

第四节变分学的若干基本定理

等价原理

(3)局部变分原理的内容设 D J——使泛函取极值的函数集；0 D J——由那些和 D J中的极值函数具有相同

(4)等价原理

边界条件的函数。结论： D J中泛函的极值函数所满足的必要条件也是 D J中泛函极值所满足的。推知：由固定边界导出的各类泛函的驻值条件，仍然是可动边界条件下的各类泛函极值函数所应满足的条件。0

A (u )= 0 等价性：偏微分方程的解， V T A( u ) dΩ= 0 ∫Ω偏微分方程的弱解。 其中V为单值的可积函数，无需连续性要求。加权残值法(Weighten Residual Method,WRM):强迫余量在加权积分意义下为零来构造微分方程的近似解。

第二章变分法的基本知识

几类泛函的驻值问题

第五节几类泛函的驻值问题

Euler方程

§2-5几类泛函的驻值问题 V= b F ( x, y, y ' ) dx ∫a y x= a=α, y x=b=β

Euler方程利用Lagrange变分引理，有： F d F ( )=0 y dx y'

1、含有一个自变函数及其一阶导数的定积分型式的驻值问题

Euler Equation

F F ' 而：δV=∫a yδy+ y'δy dx b

=∫

b d F F Fδydx+ 'δy b ∫ ( ' )δydx a a y a dx y y b

结论：上述泛函的驻值问题等同于Euler方程的边值问题的解。

b F d F =∫ ( ' ) δydx a y dx y

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第五节几类泛函的驻值问题

Euler方程

第五节几类泛函的驻值问题

边界条件

说明： 若： V= y

∫

b

a

F ( x, y, y ' ) dx=?, yx=b

x=a

=?

自然条件：由泛函极值(驻值)条件自然导出的条件。例欧拉方程(Euler Equation,E.E)和自然边界条件(Natural Boundary Condition, N.B.C)变分约束条件：预先施加于泛函变量的约束条件。非变分约束条件：施加于非泛函变量的约束条件。它与变分原理无关，是泛函变量与非泛函变量之间的关系。

(1)由局部变分原理 Euler Equation F (2)由δ V= 0 ' yx=a

F= 0, ' y

x=b

=0,

为自然边界条件。

第五节几类泛函的驻值问题

泛函型式

第五节几类泛函的驻值问题

Euler方程

2、含一个自变函数及其到n阶导数的定积分型式

Euler Equation(Euler-Poisson Equation):d F d 2 F d n F F ( ')+ ( )+ + ( 1) ( n ) ( )=0 2 dx y" dx n y ( n ) y dx y

V=∫ F ( x, y, y ', y, , y a 可动边界 b"

(n)

) dx

N.B.C(Natural Boundary Condition): F d F d n 1 F ( )+ + ( 1) ( n 1) ( )=0 y ' dx y" dx n 1 y ( n ) n 2 F F d ( F )+ + ( 1) ( n 2 ) d ( )=0 y" dx y ( 3 ) dx n 2 y ( n ) F =0 y ( n )

E .E由δV= 0 。 N . B .C

第五节几类泛函的驻值问题

泛函型式

第五节几类泛函的驻值问题

泛函型式

3、含n个自变函数及其一阶导数的定积分型式

4、含有多元自变量的定积分(重积分)型式

V= b L(t, q (t ), q (t ), , q (t ), q' (t ), q' (t ), , q' (t ))dt n∫a 1 2 1 2 n 可动边界 由δV= 0 E .E。 N . B .C E .E N . B .C

w w V=∫∫Ω F ( x, y, w( x, y), x, y )dxdy w= w, on C1 可动边界 on C2 由δV= 0 E .E。 N . B .C

d F L q dt ( q ' )= 0, ( r= 1, 2, , n ) r r F ' t= a= 0, F' t= b= 0, ( r= 1, 2, , n ) q r q r

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第五节几类泛函的驻值问题

泛函型式

第二章变分法的基本知识

条件与无条件驻值

w ( x, y ) w ( x, y ), wy=若记：w x= x y

§2-6

条件驻值与无条件驻值 Lagrange Multiplier Method

1、条件驻值与无条件驻值问题由局部变分原理和Lagrange变分引理，得：条件驻值：(a)使泛函有意义； (b)满足一定的边界条件； (c)还满足其它约束条件。无条件驻值：(a)使泛函有意义； (b)满足一定的边界条件。对有条件驻值问题常可用Lagrange乘子法将其转化为无条件驻值问题。

F F F w x ( w ) y ( w )= 0 x y F F cosα+ cosβ= 0 on C2 wy

wx

E.E N.B.C

第六节条件驻值与无条件驻值

L.M.M

第六节条件驻值与无条件驻值

L.M.M

2、Lagrange Multiplier Method(L.M.M) (1)函数函数 F= F ( x, y, z ),约束条件 ( x, y, z )= 0,求该函数的驻值条件。问题转换：*构造新的函数 F= F+λ ,其中λ为待定

由函数的驻值条件：dF= 0 F F F dx+ dy+ dz= 0 x y z dx+ dy+ dz )= 0 x y z

由约束条件：d = 0 λ (

相加上两式，有：( F F F+λ ) dx+ (+λ ) dy+ (+λ ) dz= 0 x x y y z z

参数，看作与x和y一样的独立变量，求该函数的驻值条件。

选取λ使得下式成立。

第六节条件驻值与无条件驻值

L.M.M

第六节条件驻值与无条件驻值

L.M.M

F F *+λ=0 =0 x x x * F+λ = 0 F= 0 y y y * F+λ = 0 F= 0 z z z F *=0 ( x, y, z )= 0 λ

这种引用新的自变量λ构造新函数，将原函数条件驻值问题转化为新函数的无条件驻值问题的求解方法称之为Lagrange乘子法，λ称为 Lagrange乘子。值得指出： (1)由于 F *是线性依赖于λ,故不论原来*

联立求解得 x, y, z,λ,它可使 F取驻值，也使 F ( x, y, z )在约束条件 ( x, y, z )= 0下取驻值。

函数F是否有极值， F *只能有非极值的驻值； (2)求解 F *的无条件驻值问题的解，仅为原问题(约束条件下)的解的一部分(但相当)。

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第六节条件驻值与无条件驻值

L.M.M

第六节条件驻值与无条件驻值

L.M.M

(1)泛函 V= F ( x, y, y, , y,y ', y ', , y ' )dx 1 2 n 1 2∫x1 n x2 x2边界条件 y j x1= y j x1, ( j= 1,2, n) ( x, y, y, , y )= 0, (i= 1,2, , k ), (k< n) 约束条件 1 2 n i x2

求新泛函的变分：δV *=

∑ ( yj=1x2 x1

n

V

*

δy j+

j

V *δ y 'j )+ y 'j

∑

k

i=1

V *δλ λ jx2 x1

j

=

∑ (∫j=1

n

F * d F * F * ( ) δ y j dx+δy j dx y 'j y 'j y j

)+∑i=1

k

∫

x2

x1

F *δλ j dx λ j

的驻值问题。转化为下列无条件驻值问题：V*=

注意到 y1, y 2, , y n和λ1,λ 2, ,λ k完全独立，且是固定边界。由δ V *= 0,得：

∫

x2

x1

( F+∑λ i ( x ) i dx=∫ F * dxx2 i=1 x1

k

第六节条件驻值与无条件驻值

L.M.M

第六节条件驻值与无条件驻值

驻值性质

驻值问题的几个性质： F * d F * ( )=0 ( j= 1, 2, , n ) ( E . E ) dx y 'j y j * F= 0, ( i= 1, 2, , k ) (

N . B .C ) λ i

(1)同一泛函V在不同范围内S1和S2内的极值存在下列关系。若： S 1 S 2或 S 2 S 1则：max V≤ max V≥ min V

上述解答也是原问题V在约束条件 i= 0 ( i= 1, 2, , k )和固定边界下取得驻值的条件。S1 S2

, min V

S1

S2

第六节条件驻值与无条件驻值

驻值性质

第六节条件驻值与无条件驻值

L.M.M

(2)若泛函V先在某一范围内求其驻值，当附加了一个限制范围，再求V的驻值时，若附加的条件恰好就是Euler方程或自然边界条件，那它并不影响泛函驻值的大小和个数。因为限制的条件正是去掉泛函达不到驻值的哪个范围。但是，驻值的性质有可能改变，在大范围内不是极大或极小的驻值，在小范围内可能变为极值。

值得指出：拉氏乘子法既不能将泛函的非变分约束条件吸收进新泛函，也不能将泛函的自然边界条件重复吸收进新泛函，在此情况下，拉氏乘子法失效。

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第六节条件驻值与无条件驻值

作业二

作业(二):

Π c (σ ij )=∫ B(σ ij )dΩ ∫σ ij n j u i dSΩ Su

约束条件：

σ ij, j+ f i= 0 σ ij n j= p i

(Ω ) ( Sσ )

(1) (2)

试用Lagrange Multiplier Method构造放松约束条件(1)的新泛函，并写出其驻值条件(E.E)和(N.B.C)。(注：B (σ ij )=1σ ij bijklσ kl ) 2