同济大学高等数学教学课件

第六节 函数图形的描绘一, 曲线的渐近线 二, 函数图形的描绘

第三章 三

机动

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一, 曲线的渐近线定义 . 若曲线 C上的点M 沿着曲线无限地远离原点 时, 点 M 与某一直线 L 的距离趋于 0, 则称直线 L 为 曲线C 的渐近线 . 渐近线 或为"纵坐标差" "纵坐标差" 例如, 双曲线 有渐近线 但抛物线

y

y = f (x)

C M

y = k x +b

L

PN

ox y ± =0 a b无渐近线 .机动 目录

xy

o

x

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1. 水平与铅直渐近线 若 则曲线(或x →∞)

有水平渐近线 y = b. 有垂直渐近线 x = x0 . 的渐近线 .2 1

若 (或x →x0 )

则曲线

例1. 求曲线

1 解: ∵ lim ( + 2) = 2 x→∞ x 1

∴ y = 2 为水平渐近线; 1 ∵ lim( + 2) = ∞, ∴ x =1为垂直渐近线. x→ x 1 1机动 目录 上页 下页 返回 结束

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2. 斜渐近线 若(或x →∞)

( P75 题13)

(kx + b)

(kx + b)

斜渐近线 y = kx + b.

f (x) b k = lim [ ] x→+∞ x x ∴ f (x) k = lim x→+∞ x(或x →∞)

f (x) b lim x[ k ] = 0 x→+∞ x x f (x) b lim [ k ] = 0 x→+∞ x x

b = lim [ f (x) kx]x→+∞ (或x →∞)机动 目录

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例2. 求曲线

的渐近线 .

x3 解: ∵ y = , lim y = ∞, (x + 3)(x 1) x→3(或x →1)

y = x 2

所以有铅直渐近线 x = 3及 x =1 f (x) x2 又因 k = lim = lim 2 x→∞ x x→∞ x + 2x 3

3

1

2x2 + 3x b = lim[ f (x) x] = lim 2 x→∞ x→∞ x + 2x 3

∴ y = x 2为曲线的斜渐近线 .机动 目录 上页 下页 返回 结束

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二,函数图形的描绘步骤 : 1. 确定函数 期性 ; 的定义域 , 并考察其对称性及周 并求出 及 为 0 和不存在

2. 求的点 ;

3. 列表判别增减及凹凸区间 , 求出极值和拐点 ; 4. 求渐近线 ; 5. 确定某些特殊点 , 描绘函数图形 .机动 目录 上页 下页 返回 结束

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例3. 描绘 解: 1) 定义域为

的图形. 无对称性及周期性.

2) y′ = x2 2x, y′′ = 2x 2,

令y′ = 0, 令y′′ = 0,3)

1

1 2 3

x (∞, 0) y′ + y′′ yx 1 3 y 2 2 3

0 (0,1) 1 (1, 2) 0 0 + 4 2 3(极大) (拐点)

2 (2, + ∞) 0 + +2 3

(极小)

4)

机动

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例4. 描绘方程

的图形.

(x 3)2 , 定义域为 解: 1) y = 4(x 1) 2) 求关键点 ∵ 2(x 3) +4y′ 4y 4xy′ = 0 x 3 2y 3 ∴ y′ = 2(x 1)

∵ 2 +4y′′8y′ 4xy′′ = 0 1 4y′ ∴ y′′ = 2(x 1)令y′ = 0得 x = 1, 3 ;机动 目录 上页 下页 返回 结束

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3) 判别曲线形态

x (∞, 1) 1 (1,1) y′ + 0 y′′ y 2(极大 极大) 极大

1无 定 义

(1,3) 3 0 +

(3, + ∞) +

+

0(极小 极小) 极小

4)x→ 1

线

∵ lim y = ∞, ∴x =12

线

(x 3)(x +1) 2 (x 3) , y′′ = y= , y′ = 4(x 1) 4(x 1)2 (x 1)3

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y 1 1 又因 lim = , 即 k = x→∞ x 4 4 (x 3)2 1 1 x] b = lim ( y x) = lim[ x→∞ 4(x 1 ) 4 x→∞ 4 5x + 9 5 = lim = (x 3)2 x→∞ 4(x 1 ) 4 y= 4(x 1) 1 5 ∴ y = x

为斜渐近线 (x 3)(x +1) 4 4 y′ = 4(x 1)2 2 0 5) 求特殊点 x 2 1 y′′ = y 9 (x 1)3 4 4机动 目录 上页 下页 返回 结束

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6)绘图

x (∞, 1) 1 (1,1)y(极大 极大) 极大

1无 定 义

(1,3) 3

(3, + ∞)

2

0(极小 极小) 极小

铅直渐近线 渐近线

x =1 1 5 y = x 4 4

(x 3)2 y= 4(x 1)

xy

0 9 4

2 1 4

1 0 1 2 3

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例5. 描绘函数 解: 1) 定义域为 2) 求关键点 2 x 1 xe 2 , y′ = 2π

的图形. 图形对称于 y 轴.

1 y′′ = e 2π

x2 2

(1 x2)

令y′ = 0得 x = 0; 令y′′ = 0得x = ±13) 判别曲线形态

x y′ y′′ y

0 01 2π

(0, 1)

101 2π e

(1, + ∞)

+

(极大 极大) 极大机动

(拐点 拐点) 拐点目录 上页 下页 返回 结束

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x y′ y′′ y

0 01 2π

(0, 1)

101 2π e

(1, + ∞)

+

(极大 极大) 极大

(拐点 拐点) 拐点

4) 求渐近线

y1 2

lim y = 0x→∞

y=

1 e 2 2π

x2

∴y = 0 为水平渐近线5) 作图

A

B

o

x

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内容小结1. 曲线渐近线的求法 水平渐近线 ; 垂直渐近线; 斜渐近线 2. 函数图形的描绘 按作图步骤进行

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思考与练习1. 曲线 y =

1+ e

x22

1 ex

(D )(B) 仅有水平渐近线;

(A) 没有渐近线; (C) 仅有铅直渐近线;

(D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线. 提示: 提示 lim

1+ e

x22

x→∞1 ex

=1;

x→01 ex

lim

1+ e

x22 …… 此处隐藏：1006字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……