第十六届北京市大学生数学竞赛甲乙组试题与解答

高等数学竞赛试题

第十六届北京市数学竞赛试题答案（甲、乙组） 一、 填空（20分）

i1．y (x 1)y x2y ex,y (0) 1，且lx 0a _____. _

y(x) x

a，则2

x

解 由lim

x 0

y(x) x

a，得y(0) 0，利用方程，得y (0) 2，得a 1. 2

x

ex b

2．f(x) ，x e为无穷间断点，x 1为可去间断点，

(x a)(x b)

则b __________.e

ex b解 f(x)

(x 1)(x b)

2z

3.z f(x,y), x y,f(x,0) x2,f(0,y) y, 则

x y

f(x,y) __________.

x2y xy2解 f(x,y) ______ x2 y.

2

4.du (x2 2yz)dx (y2 2xz)dy (z2 2xy)dz, 则

u(x,y,z) __________.

x3 y3 z3

2xy zC 解 u(x,y,z) ______3

5.f(x) 3x x2 0f2(x)dx, 则f(x) __________. 解 f(x) 3x k x,其中k 0(3x k x2)2dx,得

2

1

1

9 2k2k (3x k x)dx ((9 k)x 6kx x)dx k 2k,003

1

2

2

1

2

2

2

2

得9k 9 2k2,得k

9 81 729 33

3,. 442

高等数学竞赛试题

6.lim

1r 0 r2

x2 y2 r2

e

x2 y2

cos(x y)dxdy _________.

解 . 7. lim

x 0

1f(x)f(x)ln(1 ) 4,lim __________. 则

x 01 cosx2x 1x3

解 2ln2

f(x)

,f(1) a, 则f(2) __________. x

1

解 f (x)/f(x) , f(x) cx,f(1) a, f(x) ax, f(2) 2a.

x

8.f (x)

x2

9.L: y2 1,周长为l,则(x 2y)2ds __________.

4L

解 4l

10.设x 0,或x 1,则级数 ln

n 1

(1 (n 1)x)(1 2nx)

的和为_______.

(1 nx)(1 2(n 1)x)

解

ln

n 1

(1 (n 1)x)(1 2nx)

=

(1 nx)(1 2(n 1)x)

(ln

n 1

(1 (n 1)x)(1 nx)1 nx

ln) lim ln2.. n 1 2nx(1 2(n 1)x)(1 2nx)

二、f (x)存在，且 x3f (x)dx x2cosx 4xsinx 6cosx C,求f(x). 解 x3f (x) 2xcoxs x2sinx 4xcoxs 4sinx 6sinx 问题：可能是设f (x)连续，积分才有意义。

f(x)

sinxcosx C. xx2

三、y 拐点.

11 ，作图形并指出去单调区间，最值，极值，1 x1 x 2

解 x 0,y

1111 ,y 0,y单调增加。 22

1 x3 x1 x3 x

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x 0,y

2

1 x3

2

3 x3

0，y

2

1 x3

2

3 x3

0,

0 x 2,y

11 11 ,y 0,x 1， 1 x3 x1 x23 x2

2

0 x 2,y

1 x3

2

3 x3

0,

y 0 0,y 2 0 0，极小值=y 1. 1

x 2,,y

1111 ,y 0,y单调减少。 22

1 xx 11 xx 12

x 2,,y

1 x3

4

3

2

x 13

0

43

没有拐点.y 2 ,y 0 为极大值，并且为最大值。 四、0 f(x) c(R),f(x) 0f(x t)dt sinx，求

4

4

解 f(x) 0f(x t)dt sinx,

x

x

4

3

1

f(x)dx.

f(x) f(x)dx sin4x, ( f(x)dx)2 sin4xdx

xxx

3xsin2xsin4x , 4216

得 0f(x)dx

. 2

x

1

2

f(x)dx=

x

. 2

注意:上面( 0f(x)dx) 0sin4xdx表示必须x 0.所以题设

0 f(x) c(R)有一点问题.

五、求常数a,b,c的值，使函数f(x,y,z) axy2 byz cx3z2在点

(1,2, 1)处在z轴正向的方向导数有最大值64.

解 即在(1,2, 1)，有

f

0,0,1 .得a 6,b 24,c 8. f

x2y2z2

六、 是原点到 :2 2 2 1上点(x,y,z)处的切平面 的距

abc

离，计算

dS

.

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七、f(x)在 0,1 上连续且单调增加，证明不等式

1

f(x)dx 2 xf(x)dx.

1

证 方法1 自变量变换（利用定积分定义或在 ,1 2 上作变量变

1

换x 1 t.）

方法2 函数变换(1 2x)(f(x) f(1/2)) 0. 方法3

1

f(x)dx 2 xf(x)dx与 (f(x) c)dx 2 x(f(x) c)dx等价,

111

1 不仿设f 0,得(1 2x)f(x) 0.

2

方法4 设f c1,

1

f(x)dx 2 xf(x)dx

1

1

f(x)d(x x2) (x x2)df(x) 0.

1

当f c1,可以用逼近或用定积分定义证明

方法5

D

1

f(x)d(x x) (x x2)df(x) 0.

2

1

x y f(x) f(y) dxdy 0,D:0 x,y 1.

八、证明方程2x x2 1有且仅有三个实根.

证 记y 2x x2 1,y 2xln22 2,y 0 0,y ,y .

y 2xln2 2x 0,y 0 0,所以存在至少三个零点，

y 2xln32 0，不可能有三个以上零点。

九、（1）举例说明存在通项趋于零但发散的交错级数 (2). 举例说明存在收敛的正项级数 an,但an o().

n 0

1

n

解 （1） (

n 1

( 1)n

1 ) nn

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(2) 1:

(

n 4

( 1)n

n

) (

n 4

( 1)nn 1n

n

)=

n 4

n 1 (

n

( 1)nn 1n

n

),

n n n 1 n 1 n 2 n 2 ,得

1

n n 1 1,n 3

2

2:

1 2 1 2 2 2 9 (2 10 10 1) 2 11 2 12 2 99 (2 100 10 2)

丙组题目多数一样或接近。不一样的题目有 一、7．f x x 1 5e x,f 10 0

d2

8．2

dx

10! 1

e. 5!

dt

xsint

u2du sin4xcosx.

七、设生产某产品必须投入三种要素，x,y,z分别是三种要素的投入量，Q为产量，Q x y z . , , 为正数，. 1.三种要素的价格分别是P1,P2,P3，当产量一定时，三种要素的适当投入可使总费用P最小。证明最小投入总费用P与产量Q比为常数，并且求此常数.

解 利用Lagrange方法，求P P1x P …… 此处隐藏：1222字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……