第三讲 有限元数学原理

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第三讲 有限元分析 的数学求解原理

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一般说来，求解方程的途径有两大类： 1)直接针对原始方程进行求解 2)间接针对原始方程进行求解

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直接解法——解析法：

解析法从力平衡关系、几何关系以及物理关系出发，推导出一个 或一组关于应力或者关于应变、有时是同时含有应力、应变的微 分方程或偏微分方程，通过求解微分方程，解出应力、应变和变 形量。工程中，常采用的解析方法有材料力学中对杆件的分析， 弹性力学中平面问题的求解，板壳理论等。 解析法的很多基本理论是建立在一些简化的假设基础之上的，经 过大量的工程实践，被证明能很好的符合构件实际工作情况，已 成为成熟的理论。解析法得到的结果是未知量(应力、应变等) 的函数解，可直接得到结构中任意点的精确解。解析法在分析理 论问题以及一些工程问题时起着重要作用。但是解析法在应用到 一些形状复杂或应力分布复杂的结构时，往往由于数学上的问题 而显得无能为力，因而使解析法在应力分析中的应用受到限制。

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直接解法——逆解法：——根据问题的性质，确定基本未知量和相应的基本 方程，并且假设一组满足全部基本方程的应力函数或 位移函数。然后在确定的坐标系下，考察具有确定的 几何尺寸和形状的物体，其表面将受什么样的面力作 用或者将有什么样的位移。

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直接解法——半逆解法：——对于给定的弹性力学问题，根据弹性体的几何形状

,受力特征和变形特点，或已知简单结论，如材料力学 解，假设部分应力分量或者部分位移分量的函数形式为 已知，由基本方程确定其他的未知量，然后根据边界条 件确定未知函数中的待定系数。逆解法和半逆解法的应用将在以后的章节中介绍，其求解过程带有 “试算”的性质。

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直接解法——有限差分法：

有限差分法：微分方程和积分微分方程数值解的方法。其基本思 想是： 有限差分方法(finite difference method )是计算机数值模拟最早采 用的方法，至今仍被广泛运用。该方法将求解域划分为差分网格， 用有限个网格节点代替连续的求解域。有限差分法以Taylor级数展 开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代 替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。 该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数 学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。

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有限差分格式

格式精度：一阶格式、二阶格式和高阶格式。 差分的空间形式：中心格式 时间因子：显格式、隐格式、显隐交替格式等。 构造差

分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方 法。其基本的差分表达式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶 向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为 一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。通过对时间和空间 这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。

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间接解法——加权残值法：

是一种应用广泛的求解微分方程的方法.该方法先假定 一族带有待定参数的定义在全域上的近似函数,该近似 解不能精确满足微分方程和边界条件,即存在残差.在加 权平均的意义下消除残差,就得到加权残值法的方程.由 于试函数定义在全域上,所得方程的系数矩阵一般为满 阵.选取不同的权函数,可得到不同的加权参量法.

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间接解法——虚功原理：虚功原理定义：弹性体处于平衡状态，对于满足变形连续条件的 虚位移及其虚应变，外力在虚位移上所做的虚功，等于真实应力 分量在对应的虚应变上所做的虚功，即虚应变能。 最小势能原理要求

U W 0最后得

dV F T T V

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间接解法——最小势能原理： x x 应变余能

应变能 U

x

0

x d x

应变能

应变余能 U x d x0

x

o

x

x

U W 0

有限元上的应用(位移法): 假设单元位移模式 单元刚度方程

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间接解法——变分原理：

把一个物理学问题用变分法化为求泛函极值(或驻值)

的问题，后者就称为该物理问题的变分原理。如果建立 了一个新的变分原理，它解除了原有的某问题变分原理 的某些约束条件，就称为该问题的广义变分原理；如果 解除了所有的约束条件，就称为无条件广义变分原理， 或称为完全的广义变分原理。 在当代，变分原理已成为有限元法的理论基础，而广义 变分原理已成为混合和杂交有限元的理论基础。在实际 应用中，通常很少能求出精确的解析解，因此大多采用 近似计算方法。

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对于泛函 1)假定 y x i ii 1 n

2)将上式代入泛函

y x

,计算变分 0

。

3)由极值条件，算出待定常数 i ,使之满足基本微分方程。 4)把得到的常数代回 y x i i ,得到所求问题的解。i 1 n

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