第22讲┃相似三角形及其应用

第22讲┃ 考点聚焦

考点聚焦考点1 相似图形的有关概念

相似图形 相似 定义 多边 相似 形 比 相似三 角形

形状相同的图形称为相似图形 如果两个多边形满足对应角相等，对应边的 比相等，那么这两个多边形相似 相似多边形对应边的比称为相似比k 两个三角形的对应角相等，对应边成比例， 则这两个三角形相似.当相似比k=1时，两 个三角形全等

第22讲┃ 考点聚焦 考点2 比例线段防错提醒 求两条线段的 比时， 对这两条 线段要用同一 长度单位

比例 线段

黄金 分割

定义 对于四条线段 a、b、c、d,如果其中两条 线段的长度的比与另两条线段的长度的比 a∶b=c∶d 相等，即______________,那么，这四条 线段叫做成比例线段，简称比例线段 在线段 AB 上，点 C 把线段 AB 分成两条 线段 AC 和 BC(AC>BC),如果 5-1 AC= AB 2 ______________,那么称线段 AB 被点 C 黄金分割，点 C 叫做线段 AB 的黄金分割 点，AC 与 AB 的比叫做黄金比，黄金比约 0.618 为________

一条线段的黄 金分割点有 两 ______个

第22讲┃ 考点聚焦 考点3 相似三角形的判定平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构 成的三角形与原三角形____________ 相似 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的 两个角对应相等 __________________,那么这两个三角形相似 如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且 ____________相等，那么这两个三角形相似 相应的夹角 如果两个三角形的三组对应边的____相等，那么 比 这两个三角形相似 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形 与原直角三角形相似

判定定理1 判定定理2 判定定理3 判定定理4 拓展

第22讲┃ 考点聚焦 考点4 相似三角形及相似多边形的性质

(1)相似三角形周长的比等于相似比 (2)相似三角形面积的比等于相似比的平方 三角形 (3)相似三角形对应高、对应角平分线、对应中 线的比等于相似比 相似多 (1)相似多边形周长的比等于相似比 边形 (2)相似多边形面积的比等于相似比的平方

第22讲┃ 考点聚焦 考点5 位似

两个多边形不仅相似，而且对应顶点间连线相交 位似图形 于一点，对应边互相平行，像这样的两个图形叫 定义 做位似图形，这个点叫做位似中心 位似是一种特殊的相似，构成位似的两个图形不 位似与相 仅相似，而且对应点的连线相交于一点，对应边 似关系 互相平行 (1)位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距 离的比等于________; 相似比 位似图形 (2)位似图形对应点的连线或延长线相交于 的性质 ________点； 一 平行 (3)位似图形对应边______(或在一条直线上); (4)位似图形对应角相等

第22

讲┃ 考点聚焦

以坐标原 点为中心 的位似变换

位似 作图

在平面直角坐标系中，如果位似是以原 点为位似中心，相似比为 k,那么位似 图形对应点的坐标的比等于________ k或-k (1)确定位似中心 O; (2)连结图形各顶点与位似中心 O 的线 段(或延长线); (3)按照相似比取点； (4)顺次连结各点，所得图形就是所求的 图形

第22讲┃ 考点聚焦 考点6 相似三角形的应用

几何图形的 常见 证明线段的数量关系，求线段的长度， 证明与计算 问题 图形的面积大小等 建模 建立相似三角形模型 思想 相似三角形 (1)利用投影、平行线、标杆等构造相似 在实际生活 常见 三角形求解； 中的应用 题目 (2)测量底部可以达到的物体的高度； 类型 (3)测量底部不可以到达的物体的高度； (4)测量不可以达到的河的宽度

第22讲┃ 归类示例

归类示例 类型之一 比例的性质

命题角度： (1)基本性质的应用； (2)合比性质的应用； (3)等比性质的应用.

x+y-z x y z 已知 = = ≠0,求 的值. 3 4 6 x-y+z

第22讲┃ 归类示例

[解析] 设比值为k,得x=3k,y=4k,z=6k,就可以 x+y-z 将 转化成只含有k的式子，采用换元的方法从而化 x-y+z 简求出结果.x y z 解：设 = = =k(k≠0),根据题意，得 3 4 6 x=3k,y=4k,z=6k, x+y-z 3k+4k-6k k 1 所以 = = = . x-y+z 3k-4k+6k 5k 5

第22讲┃ 归类示例

这类题一般我们是设辅助未知数k,即比值为k,把所 有字母都用含有k的式子表示出来，从而达到计算或化简 的目的.

第22讲┃ 归类示例 类型之二 黄金分割 命题角度： (1)黄金分割的定义； (2)利用黄金分割求线段长. 5-1 宽与长的比是 的矩形叫黄金矩形.心理测试 2 表明：黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调，匀称的美 感.现将小波同学在数学活动课中，折叠黄金矩形的方法归 纳如下(如图22-1所示): 第一步：作一个正方形ABCD; 第二步：分别取AD,BC的中点M,N,连接MN; 第三步：以N为圆心，ND长为半径画弧，交BC的延长线 于E; 第四步：过E作EF⊥AD,交AD的延长线于F.

第22讲┃ 归类示例

请你根据以上作法，证明矩形DCEF为黄金矩形.

图22-1

第22讲┃ 归类示例5-1 CE [解析] 证明矩形 DCEF 为黄金矩形， 只要证明CD= 2 即可. 证明：在正方形 ABCD 中，取 AB=2a, 1 ∵N 为 BC 的中点，∴NC= BC=a. 2 在 Rt△DNC 中，

ND= NC2+CD2= a2+(2a)2= 5a. 又∵NE=ND,∴CE=NE-NC=( 5-1)a. 5-1 CE ( 5-1)a ∴CD= = . 2a 2 故矩形 DCEF 为黄金矩形.

第22讲┃ 归类示例

类型之三

相似三角形的性质及其应用

命题角度： 1. 利用相似三角形性质求角的度数或线段的长度； 2. 利

用相似三角形性质探求比值关系.

第22讲┃ 归类示例[2013· 北京] 如图 22-2, △ABC, 是一张锐角三角形的硬 纸片，AD 是边 BC 上的高，BC=40 cm,AD=30 cm,从这张硬 纸片上剪下一个长 HG 是宽 HE 的 2 倍的矩形 EFGH, 使它的一边 EF 在 BC 上，顶点 G、H 分别在 AC,AB 上，AD 与 HG 的交点 为 M. AM HG (1)求证： AD = BC ; (2)求这个矩形 EFGH 的周长.

图 22-2