湖北重点高中2013年自主招生考试数学试题

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分。）。

x 7 4x 2

的解集是x 3，则m的取值范围是( )

x m

A、m 3 B、m 3 C、m 3 D、m 3

2、在 ABC中， ACB 900， ABC 150，BC 1，则AC ( )

A、2 B、2 3 C、0.3 D、3 2

3、如图，AB为⊙O的一固定直径，自上半圆上一点C作弦CD AB， OCD的平分线交⊙O于点P，当点C在上半圆（不包括A、B两点）上移动时，点P( )

1、若不等式组

A、到CD的距离不变 B、位置不变 C、等分4、已知y

D、随C点的移动而移动

x 1 x（x，y均为实数），则y的最大值与最小值的差为( )

A、22 1 B、4 22 C、3 22 D、22 2

5、已知O为圆锥的顶点，M为圆锥底面圆上一点，点P在OM上。一只蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短路线的痕迹如图所示，若沿OM将圆锥侧面剪开并展平，所得侧面展开图是( )

6、已知一正三角形的边长是和它相切的圆的周长的两倍，当这个圆按箭头方向从某一位置沿正三角形的三边做无滑动的旋转，直至回到原出发位置时，则这个圆共转了( )

A、6圈 B、6.5圈 C、7圈 D、8圈 7、二次函数y ax bx c的图象如图所示，现有以下结论：①abc 0；②b a c；③4a 2b c 0；④2c 3b；⑤a b m(am b)，(m 1)其中正确的结论有( )

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个 8、如图，正 ABC中，过P作PD BC，PF AC P为正三角形内任意一点，PE AB，连结AP、BP、CP，如果S APF S BPE S PCD ( )

A、1 B、 C、2 D、二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

2

33

，那么 ABC的内切圆半径为2

3 2

111

与3 a 是相反数，计算a ． aa0a

11 1 A ，10、若 x 表示不超过x的最大整数，

则 A ．

9、3 a

1 31 1 3

11、如图，M、N分别为 ABC两边AC、BC的中点，

1

AN与BM交于点O，则

BON的面积

．

ABC的面积

D

B A O P B C N 第12题 12、如图，已知圆O的面积为3 ，AB为直径，弧AC的度数为80 ，弧BD的度数为20 ，点P为直径AB 上任一点，则PC PD的最小值为 ． 13、从1，2，3，5，7，8中任取两数相加，在不同的和数中，是2的倍数的个数为a，是3

的倍数的个数为b，则样本6、a、b、9的中位数是 ． 14、由直线y kx 2k 1和直线y (k 1)x 2k 1（k是正整数）与x轴及y轴所围

成的图形面积为S，则S的最小值是 ．

15、如图矩形纸片ABCD，AB＝5cm，BC＝10cm，CD上有一点E，ED＝2cm，AD上有一点P，PD＝3cm，过P作PF⊥AD交BC于F，将纸片折叠，使P点与E点重合，折痕与PF交于Q点，则PQ的长是____________cm.

16．将半径为4cm的半圆围成一个圆锥，在圆锥内接一个圆柱（如图示），当圆柱的侧面的面积最大时，圆柱的底面半径是___________cm.

C

第15题图 第16题图

三、解答题（72）

y x 0)过点 C17、（14分）已知抛物线 bx c ( c ( 1 , 0 ) ，且与直线y 7 2x只有

一个交点．

⑴ 求抛物线的解析式；

⑵ 若直线y x 3与抛物线相交于两点A、B，则在抛物线的对称轴上是否存在点

2

Q，使 ABQ是等腰三角形? 若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由．

18、有一河堤坝BCDF为梯形，斜坡BC坡度iBC =

，坝高为5 m，坝顶CD = 6 m，现3

有一工程车需从距B点50 m的A处前方取土，然后经过B—C—D放土,为了安全起见，工程车轮只能停在离A、D处1 m的地方即M、N处工作，已知车轮半经为1 m，求车轮从取

2

A B

F

土处到放土处圆心从M到N所经过的路径长。（tan150=2－）

19、（14分）如图,过正方形ABCD的顶点C在形外引一条直线分别交AB、AD延长线于

点M、N,DM与BN交于点H,DM与BC交于点E,BN与DC交于点F． ⑴ 猜想：CE 与DF的大小关系? 并证明你的猜想．⑵ 猜想：H是 AEF的什么心? 并证明你的猜想． N

F C D

H E

A M

B

20、（15分）如图，已知菱形ABCD边长为6, ABC 120 ,点P在线段BC延长线上,

半径为r1的圆O1与DC、CP、DP分别相切于点H、F、N，半径为r2的圆O2与

PD延长线、CB延长线和BD分别相切于点M、E、G．

（1）求菱形的面积；（2）求证：EF MN；（3）求r1 r2的值．

M A O2

G

E

B

H C F O1 D

N

3

P

21．(15 分)如图，已知抛物线的方程C1:y=-(x+2)(x-m)(m>0)与x 轴相交于 点B、C，与y 轴相交于点E，且点B 在点C 的左侧.

(1)若抛物线C1过点M(2，2)，求实数m 的值．(2)在(1)的条件下，求△BCE 的面积． (3)在(1)的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使BH+EH 最小，并求出点H 的坐标． (4)在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F 为顶点的三角形与△BCE 相似?若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由．

一、选择题（8×3’＝24’） 1～4 CBBD 5～8 DCBA 二、填空题（8×3’＝24’）

317

12、3 13、5.5 14、 15. 16.

4

64

三、解答题（本大题共5小题，14' 14' 14 15' 15' 72 ）

2

17、(14分)解：（1）y x 2x 3(6分)（2）Q(1,3 )或(1, )或(1,1)(14分)

9、 10、-2 11、18. 60＋2

6

19.1）CE DF.(2分

)

4

证：∵正方形ABCD∴AD∥BC,DC∥AB∴分)

CEMCBCDFND

,(4分)(6

NDMNNAABNA

CENDDFCE

∴又AB BC∴CE DF(7分)

BCNAABBC

（2）垂心. (9分) 易证 ADF≌ DCE(11分)∴ DAF FDE又

∴ DAF ADE 90 ∴AF DE(13分)同理FB AE. H 为 AEF的垂心. (14分)

20.（1）∴菱形的面积=2S△DBC=54

∴

（2）证明：∵PM与PE都是⊙O1的切线，∴PM=PN，又∵PN与PF都是⊙O2的切线，∴PN=PE，∴PM-PN=PE-PB，即EF=MN； （3）∴r1+r2=9． 21.

5

6