33电路一阶微分方程的求解

3.3

电路暂态分析的目的是为了得到 电路的时域响应。建立动态电路的状态方程，得到一阶微 分方程组(或一阶微分方程),再求该 方程组的解。 因此暂态分析的实质就是如何获得并 且求解电路的常微分方程。一 阶 微 分 方 程 的 求 解

33电路一阶微分方程的求解

3.3

3.3 一阶微分方程的求解一阶微分方程的求解可归结为在给定初始条件下， 求微分方程的初值问题 y' ( t ) f ( y , t ) y ( t 0 ) y0 t t0一 阶 微 分 方 程 的 求 解

基本思想： 在初值问题存在唯一解的时间区间内，在若干个时间 离散点上，用差分方程代替微分方程，然后逐点求解差分 t 2 … t n处的函数 y(t ) 近似 方程，得到各时间离散点 t 1 、 值 y、 1 y2… yn

33电路一阶微分方程的求解

一.前向欧拉法当两相邻离散点之间的间隔较小时，用一阶差商 取代一阶导数

3.3

y ( t k 1 ) y ( t k ) y' ( t k ) t k 1 t k令步长

h t k 1 t k,则

y(t k 1 ) y(t k ) y' (t k )h其近似值为：

一 阶 微 分 方 程 的 求 解

yk 1 yk y'k h

近似解的误差首先是由差商近似代替微商引起的，这种近似代替所 产生的误差称为截断误差。还有一种误差称为舍入误差，这种误差 是由于计算时数值舍入引起的。

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前向欧拉法的几何意义：y(t)

3.3y3 y2

yk 1 yk hf (t k , yk )在任一步长内，用一段直 线代替函数 y( t ) 的曲线， 此直线段的斜率等于该函 数在该步长起点的斜率。y0 y( t 0 ) 0 t0 h t1 h t2 h y1

y(t3) y(t2) y(t1)

一 阶 微 分 方 程 的 求 解

t3

欧拉法的几何意义：过点A0(t0,y0),A1(t1,y1),…,A n (t n,y n ),斜率分别为f(t0,y0),f(t1,y1),…,f(tn, y n)所连接的一条折线，所以欧拉法亦称为欧拉折线法。

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例1. 应用前向欧拉法解初值问题 2 y' y t 2 e t ,1 t 2, y(1) 0 t 取步长h=0.1,并把计算结果与精确解比较

3.3

【思路】 用欧拉法求解常微分方程的初值问题时，首先熟练掌握欧拉公式的 一般形式，根据具体题目写出找出欧拉公式的迭代式，并根据初始条件和所 给步长进行迭代求解。 2

解：据前向欧拉法

yn+1 yn h(y0 y(1) 0

tn

2 tn yn t n e )

又

一 阶 微 分 方 程 的 求 解

有：

2 2 t0 y1 y0 h( y0 t 0 e ) 0.271828183 t0y2 y1 h( 2 y1 t12 e t1 ) 0.684755578 t1

t n t0 nh 1 0.1n

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微分方程

2 y' y t 2 e t t2

是一阶线性微分方程，t

3.3

可求出其通解： y t (e +C)

一阶非齐次线性微分方程

带入初值y(1) 0 可得 C e2 t y t ( e - e) 则方程的解为：

2 从而有： y(t n ) t n (e tn - e)

一 阶 微 分 方 程 的 求 解

2 y1 t1 (e t1 e) 0.3459198762 y2 t 2 (e t 2

e ) 0.86642536

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计算结果列表( y n 为前向欧拉法计算近似值， y( t n ) 为精确值)n0

3.3

tn1.0

yn0

y( t n )0

y( t n ) y n0

12 3

1.11.2 1.3

0.2718281830.684755578 1.276978344

0.3459198760.866642536 1.607215079

0.0740196930.181886958 0.330236735

45 6 7

1.41.5 1.6 1.7

2.0935476883.187445122 4.620817846 6.466396378

2.6203595523.967666295 5.720961527 7.963873479

0.5268118640.780221173 1.100143681 1.497477101

一 阶 微 分 方 程 的 求 解

正

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3.3

分析：当步长不是很小时，前向欧拉法的精度不 是很高。步长取定后，步数越多，误差越 大。一 阶 微 分 方 程 的 求 解

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二、后向欧拉法对于给定初始条件 y(t 0 ) y0的微分方程

3.3

y' (t ) f ( y(t ), t )用一阶差商近似代替 y( t ) 在一个步长终点的一阶导 数，则原微分方程化为：一 阶 微 分 方 程 的 求 解

y( t k 1 ) y( t k ) y' ( t k 1 ) h其近似值：

yk 1 yk y'k 1 h 欧拉隐式公式

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3.3 后向欧拉法的几何意义：yk 1 yk hf (t k 1 , yk 1 )y(t) y3

近似值 一 阶 微 分 方 程 的 求 解

在任一步长内，用一段直线 代替函数 y(t) 的曲线，此直 线段的斜率等于该函数在该 步长终点的斜率。y0 y(t0) 0 t0 h

y2 y1 y(t3) y(t2) y(t1) h t1 t2 h t3 t

精确值

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3.3 注：后向欧拉法的两种处理方式 ① 前向Euler法为显式，后向Euler法

为隐式——须解出yk+1.② 可用迭代法

yk+1 (n+1) = yk + hf (tk+1,yk+1(n))n = 0,1,2,… 解得yk+1 ,

一 阶 微 分 方 程 的 求 解

其中yk+1(0) = yk + hf (tk,yk).(结合前向欧拉法，预报)

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例2. 应用后向欧拉法解初值问题 2 y' y t 2 e t ,1 t 2, y(1) 0 t 取步长h=0.1,并把计算结果与精确解比较解：据后向欧拉法 y n+1 y n h( t即 : y n+1 2n 1 2 n+1

3.3

y n 1 t e 2t n+1

2 n+1

e

t n +1

)

y n ht

1 h

一 阶 微 分 方 程 的 求 解

t n+1

又

y 0 y(1) 0 t n t 0 nh 1 0.1n

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3.3yn 为后向欧拉法计算近似值， 计算结果列表( y( t n )为精确值)n

tn1.0 1.1

yn0 0.444282775

y( t n )0 0.345919876

y( t n ) y n0 -0.098362899

0 1

2 3 4 5 6 7

1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7

1.106855535 2.040960612 3.308409773 4.980911323 7.141585856 9.886697539

0.866642536 1.607215079 2.620359552 3.967666295 5.720961527 7.963873479

-0.240212999 -0.433745533 -0.688050221 -1.013245028 -1.420624329 -1.922824060负

一 阶 微 分 方 程 的 求 解

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三. 梯形法及其预估-矫正法 y' ( t ) f ( t , y ) y( t 0 ) y 0 t t0

3.3改进欧拉法

用一阶差商近似地代替函数在一个步长起点和终点的 一阶导数的平均值

y( t k 1 ) y( t k ) 1 [ y' ( t k ) y' ( t k 1 )] h 2h 梯形公式 y( t k 1 ) y( t k ) [ y' ( t k ) y

' ( t k 1 )] (欧拉中点公式) 2

一 阶 微 分 方 程 的 求 解

近似值：

yk 1

h y k ( y ' k y' k 1 ) 2

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显然，梯形公式是隐式法，一般求 y k 1 需要解方程， 常采用迭代法，初值由显式的欧拉公式给出：预报( 0) yk 1 y k hf ( t k , y k )

3.3

然后将 y校正(1) k 1

( 0) k 1

替代梯形公式等式右边出现的 yk 1

h (0) y y k [ f ( t k , y k ) f ( t k 1 , y k 1 )] 2 h ( n 1) (n) yk 1 yk [ f (t k , yk ) f (t k 1 , yk 1 )] 2 迭代次数 n 0,1,2,

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当步长h足够小，且由前向欧拉法计算的已是较好 的近似，则迭代一、二次即可

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3.3

几何意义 Euler法 折线法

改进Euler法 平均斜率折线法

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