04-数学基础3-卷积、相关、傅里叶级数

时间：2026-01-20

§0-3 卷积 convolution二、定义若f(x)与h(x)有界且可积, 定义

g ( x ) f ( x ) h( x )

f ( )h( x )d

*: 卷积符号

g(x)称为函数f(x)与h(x)的卷积. g(x)是f(x)与h(x)两个函数共同作用的结果.对于给定的x,第一个函数的贡献是f( ),则第二个函数的贡献是h(x- ).需要对任何可能的求和. 二维函数的卷积:

g ( x, y) f ( x, y) h( x, y)

f ( , )h( x , y )d d

§0-3 卷积 convolution三、计算方法--几何作图法练习: 计算 rect(x)*rect(x)1.用哑元t画出二个 rect(t) 2.将rect(t)折叠后不变;-1/2 1 rect(t) 1 rect(t)

t0 1/2 1 -1/2 rect(t) 0 1/2

3.将一个rect(-t)移位至给定的x, rect[-(t -x)]= rect(t - x); -1/2 0 x-1/2 x x+1/2 4.二者相乘;乘积曲线下 |x| >1; g(x) = 0 面积的值即为g(x).1 -1 0 g(x) x 1

t1/2

-1< x <0; g(x) = 1 [x+1/2-(-1/2)]=1+x 0 < x <1; g(x) = 1 [1/2-( x-1/2)]= 1- x

卷积通常具有(1)加宽 (2)平滑的作用

§0-3 卷积 convolution四、性质

1. 卷积满足交换律 Commutative Property f(x)*h(x) = h (x) * f (x) 2. 卷积满足分配律 Distributive Property [v(x) + w(x)]*h(x) = v(x)*h (x) + w(x)*f (x) 推论:卷积是线性运算 Linearity[av(x) + bw(x)]*h(x) = a[v(x)*h (x)] + b[w(x)* f (x)]

3.卷积满足结合律 Associative Property[v(x)*w(x)]*h(x) = [v(x)*h(x)]*w(x)= v(x)* [w(x)*h(x)]

§0-3 卷积 convolution四、性质 (续)

4. 卷积的位移不变性 Shift invariance 若f(x) * h(x) = g(x), 则 f(x- x0) * h(x) = g(x - x0) 或 f(x) * h(x - x0) = g(x - x0)5. 卷积的缩放性质 Scaling 若 f(x) * h(x) = g(x), 则

x x x f h b g b b b

§0-3 卷积 convolution五、包含脉冲函数的卷积根据 1. d-函数是偶函数, 2. d-函数的筛选性质, 有:f ( x) d ( x) f ( )d ( x )d f ( x)

即任意函数与d(x) 卷积后不变利用卷积的位移不变性可得: f(x)*d(x - x0) = f (x - x0)任意函数与脉冲函数卷积的结果, 是将该函数平移到脉冲所在的位置. f(x)与脉冲阵列的卷积可在每个脉冲位置产生f(x) 的函数波形,用于描述各种重复性的结构.a b a

练习0-9. 利用梳函数与矩形函数的卷积表示线光栅的透过率。假定缝宽为a,光栅常数为d,缝数为 N. 0-10. 利用包含脉冲函数的卷积表示下图所示双圆孔屏的透过率。若在其中任一圆孔上嵌入p位相板，透过率怎样变化？yl

练习: 0-10 (透过率 = 输出/输入)yl

yy x

xd0

t ( x, y)

x2 y2 circ l/2

[d (x+d/2) + d (x-d/2 ) ]

p 位相板: 输出 = 输入 exp(jp ), 即: 透过率= exp(jp ) = -1若右边园孔上加p 位相板, 则 t ( x, y)

x2 y2 circ l/2

[d (x+d/2 - d (

x-d/2)]

利用卷积性质求卷积的例子A-a f ( x) 0 a x

练习0-11 :用图解法求图示两个函数的卷积f(x) * h(x)kh(x) 0 a x

-a

若要求写出解析运算式: f(x) = ? +? 写成 tri(x) 的平移式 h(x) = ? +? 写成d(x)的平移式利用卷积的线性性质利用d函数的卷积性质利用卷积的平移性质

练习 0-12若f(x) * h(x) = g(x), 证明 (1) f(x- x0) * h(x) = g(x - x0) (2) h(x) * f(x) = g(x)

(3)

x x x f h b g b b b

§0-4 相关 correlation信息处理中的重要运算一、互相关 cross correlation考虑两个复函数f(x)与g(x), 定义：

rfg ( x) f ( x)★g ( x) f * ( ) g ( x )d (1)

为函数f(x)与g(x)的互相关函数. 作变量替换x+ = ’, 则

rfg ( x) f ( x)★g ( x) f * ( ' x) g ( ' )d ' (2)

(1) 和 (2)两个定义式是完全等价的.

互相关是两个函数间存在相似性的量度.

§0-4 相关 correlation一、互相关 cross correlation(续) 与卷积的关系由(2)式易见：

rfg ( x) f * ( x) g ( )]d g ( x) f * ( x)

(3)

1. 当且仅当f*(-x)=f(x) [f(x)是厄米的], 相关才和卷积相同. 一般情况下,相关运算与卷积运算的区别: f(x)要取复共轭运算时f(x) 不需折叠 2. 互相关不满足交换律 rfg(x)=f(x) ★g(x) ≠ g(x) ★ f(x) = rgf (x) 相关计算要严格注意两个函数的顺序,以及哪个函数取复共轭. 由(3)式直接推论得:

rfg(x)= rgf*(-x)

(4)

§0-4 相关 correlation二、自相关 auto-correlation

当f(x)=g(x)时,互相关变为复函数f(x)的自相关, 定义为

rff ( x) f ( x)★f ( x) f ( ) f * ( x)d

或:

rff ( x) f ( x)★f ( x) f ( ' x) f * ( ' )d '

由(4)式立即可得:

rff(x)= rff*(-x)

复函数的自相关函数是厄米函数(实部为偶函数,虚部为奇函数) 实函数的自相关为实偶函数

§0-4 相关 correlation二、自相关 auto-correlation 重要性质由(3)式:

rff ( x) f ( ) f *[ ( x )]d f ( x) f * ( x)