专题12.3 数系的扩充与复数的引入(解析版)

第十三章 算法初步、推理与证明、复数

专题3 数系的扩充与复数的引入

【三年高考】

1. 【2017江苏】复数(12i)(3i),z =+-其中i 为虚数单位，则z 的实部是 .

【答案】5

【解析】

试题分析：(12i)(3i)55i z =+-=+．故答案应填：5

【考点】复数概念

【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),,,a b c d ac bd ad bc a b c d +=-++∈R +i i i ,，其次要熟悉复数的相关概念，如复数i(,)a b a b +∈R 的实部为a ，虚部为b ，模为22a b +，共轭为i a b -

2.【2017课标1，理3】设有下面四个命题

1p ：若复数z 满足1z

∈R ，则z ∈R ；2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =；4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R .

其中的真命题为

A.13,p p

B ．14,p p

C ．23,p p

D ．24,p p 【答案】B

【考点】复数的运算与性质.[来源:http://www.77cn.com.cn]

【名师点睛】分式形式的复数，分子分母同乘分母的共轭复数，化简成(,)z a bi a b R =+∈的形式进行判断，共轭复数只需实部不变，虚部变为原来的相反数即可.

3.【2017课标II ，理1】31i i

+=+（ ） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i -

【答案】D

【解析】

试题分析：由复数除法的运算法则有：()()3+13212

i i i i i -+==-+，故选D 。 【考点】 复数的除法

【名师点睛】复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除。除法实际上是分母实数化的过程。在做复数的除法时，要注意利用共轭复数的性质：若z 1，z 2互为共轭复数，则z 1·z 2＝|z 1|2＝|z 2|2，通过分子、分母同乘以分母的共轭复数将分母实数化。

4.【2017山东，理2】已知a R ∈,i 是虚数单位，若3,4z a i z z =+⋅=，则a=

（A ）1或-1 （B ）7-7或 （C ）-3 （D ）3

【答案】A 【解析】试题分析：由3,4z a i z z =+⋅=得234a +=，所以1a =±，故选A.

【考点】 1.复数的概念.2.复数的运算.

【名师点睛】复数i(,)a b a b +∈R 的共轭复数是i(,)a b a b -∈R ，据此结合已知条件，求得a 的方程即可.

5. 【2017北京，理2】若复数()()1i a i -+在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是

（A ）（–∞，1） （B ）（–∞，–1）

（C ）（1，+∞） （D ）（–1，+∞）

【答案】B

【考点】复数的运算

【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．复数z ＝a ＋b

i 复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )．复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ) 平面向量OZ .

6. 【2017天津，理9】已知a ∈R ，i 为虚数单位，若

i 2i a -+为实数，则a 的值为 . 【答案】2- 【解析】()(2)(21)(2)2122(2)(2)555

a i a i i a a i a a i i i i -----+-+===-++-为实数， 则20,25

a a +==-. 【考点】 复数的分类 【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．