高中数学选修4-4《1.3.1圆的极坐标方程》

人教A版高中数学选修4-4《1.3.1圆的极坐标方程》

1.3 简单曲线的极坐标方程

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回顾：如何建立直角坐标系研究圆的性质？

曲线

方程

x y r2 2

2

显见，直角坐标系中，曲线C与其方程f(x,y)=0有如 下对应关系： (1)曲线C上的点的坐标都满足方程f(x,y)=0; (2)以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上.

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曲线的极坐标方程定义：在极坐标系中，如果曲线C上的 点M( , )与方程f( , )=0有如下关系: (1)曲线C上任一点的极坐标(所有坐标中 至少有一个)符合方程f( , )=0 ; (2)方程f( , )=0的所有解为坐标的点都在 曲线C上。 则称曲线C的极坐标方程是f( , )=0 。

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例1.已知圆O的半径为r,探究圆的极坐 标方程，如何建立极坐标系？M(x,y)

x y r2 2

2

r, [0,2 )

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探 究 如图，半径为a,圆心极坐标(a,0)(a>0), 则圆的极坐标方程为？

| OM | | OA | cos 2a * cos

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思考：还有更一般的方法求解上述问题吗？

CM OM OC 2OM*OC*cos MOC2 2 2

a a 2 a cos 2 2 2

2cos 小结：如何求圆的极坐标方程(一般方法)?

构造一个三角形(以极点O、圆心C、 圆上任一点M( , )为顶点),在三角形 中找出 和 之间的关系

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练习1:求下列圆的极坐标方程 (1)圆心在极点，半径为2; =2 (2)圆心在(a, /2),半径为a; =2a sin (3)圆心在C( 0, 0),半径为r。 2+ 0 2 -2 0 cos( - 0)= r2

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练习2.以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1 为半径的圆的方程是 ( )

A. 2cos 4 C. 2cos 1

B. 2sin 4 D. 2sin 1

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思考1:回顾：点的直角坐标和极坐标如何相互转化？曲线的 直角坐标方程和极坐标方程是否也可以相互转化？

x y r2 2

2

r

(x - a) y a 2a cos 2 2 2

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曲线的直角坐标方程和极坐标方程互相转化：

f ( x, y) 0

x cos y sin 2 2 2

f ( , ) 0

f ( , ) 0

x y y tan x

f ( x, y) 0

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练习3.把下列直角坐标方程转化为极坐标方程：

( 1 )x ( y a) a 2 2 2 (2) (x a) ( y b) r2 2 2

练习4.把下列极坐标方程转化为直角坐标方程：

( 1 ) 2

(2) 5 cos 2 cos( ) 4

(3) 4sin (4)

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课后思考: 1.在极坐标中，方程分别是ρ=cosθ 和ρ=sinθ的两个圆 (1)求其圆心极坐标和半径 (2)求两圆圆心距

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总结： (1)曲线的极坐标方程概念 (2)怎样求曲线的极坐标方程 (3)圆的常见的极坐标方程