08-09第一学期复变函数考试试题A卷答案

山东科技大学期末考试题

山东科技大学2008—2009学年第一学期

《复变函数》考试试卷（A卷）答案

一、填空题（每空3分，共15分）

1. (

2k )2

i; 2.e2

2;3.2 i; 4.z 1;5.2k . 二、选择题（每题3分，共15分）

1. C 2. C 3.A 4. C 5. A

三、计算题（40分） 1.(20分)求下列积分：

解：1）

dzz 3(z 1)(z 2) z 3(11

z 2 z 1)dz

1z 3z 2 1z 3z 1 2 i 2 i 0 z 2) zdz z 3 6(z 2)3(z 4) z 3 6(z 2)3

.

2 i2!(zz 4) 1 i z 227

3）由于f(z) 2cos

1z sin( 2z 2cos12

z sinz

2 228z 2!z2 3!z3

所以原式 2 iC 1 4 i 4）z 0为被积函数的一级极点,z 1为二级极点,而

s[f(z),0] limzez

Re(z 1)2

1

z 0zs[f(z),1] 1(2 1)!limdz 1dz[(z 1)ezRe2

z(z 1)

2] 0 ………………(5分)

………………(5分) ………………(3分)

………………(5分) (3分) ………………

山东科技大学期末考试题

所以原式 2 i(1 0) 2 i. ………………(5分)

(n 2)5n 1

2.(6分)解：收敛半径为R lim 5 ………………(3分)

n (n 1)5n

在z 5处,级数变为

1

,发散； n 0n 1

( 1)n

在z 5处,级数变为 ,收敛. ………………(6分)

n 0n 1

3.(7分) 解：f(z)

111

………………(2分)

z(z 1)z 1z

11 1 (z 1) (z 1)2 (z 1)3 (5分) z1 z 1

当0 z 1时， 所以f(z)

1

1 (z 1) (z 1)2 (z 1)3 ………………(7分) z 1

i

dzz2 1

4.(7分)解：令z e,则d ，且sin ， ………………(2分)

iz2iz

于是

2

d 2dz2dz z 1(z 3i)(3z i) ， 5 3sin z 13z2 10iz 3i

， 3

从而被积函数在z 1内只有一个一级极点z 并且Res[f(z), ]

1

， ………………(5分) 4i

1

由留数定理知，原式＝2 i . ………………(7分)

4i2

i3

四、证明题（20分）

1.证明：因为f(z)在D内解析，所以

v u v 2v, y x x

v u v

2v， ………………(4分) x y y

从而有(1 4v)

2

v v v

0,故 0,从而有 0. ………………(8分)

x y y

山东科技大学期末考试题

所以v为常数,u v也是常数.于是f(z)为常数. ………………(10分)

2

2 2 2 2

2.证明：因为2 2 0,2 0,且 与 有二阶连续偏导数，所以 2

x y x y u 2 2 u 2 2 2 2

2, 2 (2 ), ………………(4分) x x y x y y x y x x y

v 2 2 v 2 2 2 2 2 , 2 2 ………………(7分) x x x y y x y y x y x

从而易见

u v u v

, ，且u与v具有一阶连续偏导数,故f(z) u iv是 x y y x

D内的解析函数. ………………(10分)

五、综合题（10分）

解：由已知得所求的分式线性映射 f(z) e

i

z

,( 1) ………………(3分) 1 z

1

11i ei 2z 1 ………………(5分) 又由f() 0得到 ，从而f(z) e

1222 z1 z2

z

解出f (z) e

i

3

， ………………(7分) 2

(2 z)

再由argf ()

12

2

得到arg

4i 2z 1e ，解出ei i,故 f(z) i. …(10分) 322 z