第一章 行列式
1 利用对角线法则计算下列三阶行列式
(1)
解
2(4)30(1)(1)118
0132(1)81(4)(1)
2481644
(2)
解
acbbaccbabbbaaaccc
3abca3b3c3

(3)
解
bc2ca2ab2ac2ba2cb2
(ab)(bc)(ca)

(4)
解
x(xy)yyx(xy)(xy)yxy3(xy)3x3
3xy(xy)y33x2 yx3y3x3
2(x3y3)
2 按自然数从小到大为标准次序 求下列各排列的逆序数
(1)1 2 3 4
解 逆序数为0
(2)4 1 3 2
解 逆序数为4 41 43 42 32
(3)3 4 2 1
解 逆序数为5 3 2 3 1 4 2 4 1, 2 1
(4)2 4 1 3
解 逆序数为3 2 1 4 1 4 3
(5)1 3 (2n1) 2 4 (2n)
解 逆序数为
3 2 (1个)
5 2 5 4(2个)
7 2 7 4 7 6(3个)

(2n1)2 (2n1)4 (2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个)

(6)1 3 (2n1) (2n) (2n2) 2
解 逆序数为n(n1)
3 2(1个)
5 2 5 4 (2个)

(2n1)2 (2n1)4 (2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个)
4 2(1个)
6 2 6 4(2个)

(2n)2 (2n)4 (2n)6 (2n)(2n2) (n1个)
3 写出四阶行列式中含有因子a11a23的项
解 含因子a11a23的项的一般形式为
(1)ta11a23a3ra4s
其中rs是2和4构成的排列 这种排列共有两个 即24和42
所以含因子a11a23的项分别是
(1)ta11a23a32a44(1)1a11a23a32a44a11a23a32a44
(1)ta11a23a34a42(1)2a11a23a34a42a11a23a34a42
4 计算下列各行列式
(1)
解

(2)
解

(3)
解

(4)
解

abcdabcdad1
5 证明:
(1)(ab)3;
证明

(ab)3
(2);
证明







(3);
证明
(c4c3 c3c2 c2c1得)
(c4c3 c3c2得)


(4)
(ab)(ac)(ad)(bc)(bd)(cd)(abcd);
证明





=(ab)(ac)(ad)(bc)(bd)(cd)(abcd)
(5)xna1xn1 an1xan

证明 用数学归纳法证明
当n2时 命题成立
假设对于(n1)阶行列式命题成立 即
Dn1xn1a1 xn2 an2xan1
则Dn按第一列展开 有

xD n1anxna1xn1 an1xan
因此 对于n阶行列式命题成立

6 设n阶行列式Ddet(aij), 把D上下翻转、或逆时针旋转90、或依副对角线翻转 依次得

证明 D3D
证明　因为Ddet(aij) 所以



同理可证



7 计算下列各行列式(Dk为k阶行列式)
(1), 其中对角线上元素都是a 未写出的元素都是0
解
(按第n行展开)

anan2an2(a21)

(2);
解 将第一行乘(1)分别加到其余各行 得

再将各列都加到第一列上 得
[x(n1)a](xa)n1
(3);
解 根据第6题结果 有

此行列式为范德蒙德行列式





(4);
解
(按第1行展开)


再按最后一行展开得递推公式
D2nandnD2n2bncnD2n2 即D2n(andnbncn)D2n2
于是
而
所以
(5) Ddet(aij) 其中aij|ij|;
解 aij|ij|



(1)n1(n1)2n2
(6), 其中a1a2 an0

解






8 用克莱姆法则解下列方程组
(1)
解 因为



所
以
(2)

解 因为




所以

9 问( (取何值时 齐次线性方程组有非零解？
解 系数行列式为

令D0 得
(0或(1
于是 当(0或(1时该齐次线性方程组有非零解

10 问(取何值时 齐次线性方程组有非零解？

解 系数行列式为

(1()3((3)4(1()2(1()(3()
(1()32(1()2(3
令D0 得
(0 (2或(3
于是 当(0 (2或(3时 该齐次线性方程组有非零解