曾谨言《量子力学导论》答案

曾谨言《量子力学导论》答案

第一章 量子力学的诞生

∞,x<0,x>a

1.1设质量为m的粒子在一维无限深势阱中运动， V(x)=

0,0<x<a

试用de Broglie的驻波条件，求粒子能量的可能取值。

解：据驻波条件，有 a=n

λ

2

(n=1,2,3, )

∴λ=2a/n （1）

又据de Broglie关系p=h/λ （2） 而能量

E=p2/2m= 2/2mλ2

π2 2n2h2n2

==2

2m 4a2ma2

(n=1,2,3, )

（3）

1.2设粒子限制在长、宽、高分别为a,b,c的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。 解：除了与箱壁碰撞外，粒子在箱内作自由运动。假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发，则碰撞为弹性碰撞。动量大小不改变，仅方向反向。选箱的长、宽、高三个方向为x,y,z轴方向，把粒子沿x,y,z轴三个方向的运动分开处理。利用量子化条件，对于x方向，有

p

x

dx=nxh,

(nx

=1,2,3, )

即 px 2a=nxh （2a：一来一回为一个周期）

∴px=nxh/2a,

同理可得， py=nyh/2b, pz=nzh/2c,

nx,ny,nz=1,2,3,

粒子能量 Enxnynz

π2 21222

=(px+py+pz)=2m2m

222 nxnynz ++ nx,ny,nz=1,2,3,

a2b2c2

1.3设质量为m的粒子在谐振子势V(x)= 提示：利用 p dx=nh,

1

mω2x2中运动，用量子化条件求粒子能量E的可能取值。 2

p=2m[E V(x)] V(x)n=1,2, ,

解：能量为E的粒子在谐振子势中的活动范围为 x≤a （1） 其中a由下式决定：E=V(x)x=a=

1

mω2a2。 a 0 a x 2

似水骄阳

1

曾谨言《量子力学导论》答案

.

由此得 a=

2E/mω2 ， （2）

x=±a即为粒子运动的转折点。有量子化条件

+a

+a

p dx=22m(E 1

2mω2x2)dx=2mω2 ∫

a

∫a2 x2dx

a

=2mωa2

π

2

=mωπa2=nh

得a2

=

nh

2 nmωπ=

mω

（3） 代入（2），解出 En=n ω,

n=1,2,3, （4）

积分公式：

∫

a2

u2

du=u2a2 u2

+a2u2arcsina

+c

1.4设一个平面转子的转动惯量为I，求能量的可能取值。 提示：利用

∫

2π

p=nh,n=1,2, , pE=p2

d 是平面转子的角动量。转子的能量

/2I。解：平面转子的转角（角位移）记为 。

.

它的角动量p =I （广义动量），p 是运动惯量。按量子化条件

∫

2π

p d

=2πp =mh,

m=1,2,3,

∴

p =mh，

因而平面转子的能量E2I=m2 2

m=p /2/2I， m=1,2,3,

第二章 波函数与Schrödinger方程

2.1设质量为m的粒子在势 V(r

)中运动。 （a）证明粒子的能量平 值为 E=∫

d3

r ω，

ω= 2

2m

ψ*ψ+ψ*Vψ （能量密度）

（b）证明能量守恒公式

ω t

+

s=0 s= 2 ψ* ψ*2m t ψ+ t ψ （能流密度）

证：（a）粒子的能量平 值为（设ψ已归一化）

似水骄阳

2

曾谨言《量子力学导论》答案

22 3

+E=∫ψ V 2m ψdr=T+V （1）

*

V=∫d3rψ*Vψ （势能平均值） （2） 22

(动能平均值)T=∫drψ ψ 2m

2 3**= dr (ψ ψ) ( ψ) ( ψ)2m∫

3

*

[]

其中T的第一项可化为面积分，而在无穷远处归一化的波函数必然为0。因此

T= 2

2m

∫d3r ψ* ψ （3） 结合式（1）、（2）和（3），可知能量密度 ω= 2

2m

ψ* ψ+ψ*Vψ, （4）

且能量平均值 E=∫

d3

r ω 。

（b）由（4）式，得

ω 2 m ψ *

ψ

ψ t=2 ψ+ ψ +

Vψ+ψ*V ψ t t t t

= 2 2m ψ ψ* t ψ+ t ψ ψ 2

ψ+ ψ 2ψ*

+

ψ Vψ+ψ*V ψ t t t t = s+ ψ 2 ψ 22

t 2m +V ψ+2 * t 2m +V

ψ

= s+E ψ ψ*

t+

t =

s+E tρ （ρ ：几率密度）

=

s （定态波函数，几率密度ρ不随时间改变）

所以

ω t

+

s=0 。 2.2考虑单粒子的Schrödinger方程

i t(r ,t)= 22

2m

ψ(r,t)+[V1(r)+iV2(r)]ψ(r,t) （1） V1与V2为实函数。

似水骄阳

3

曾谨言《量子力学导论》答案

（a）证明粒子的几率（粒子数）不守恒。

（b）证明粒子在空间体积τ内的几率随时间的变化为

2V2 d3***

drdSψψ= (ψ ψ ψ ψ) +∫∫∫∫∫dtτ2imS

证：（a）式（1）取复共轭， 得

3*

drψψ ∫∫∫

τ

22* *

ψ+(V1 iV2)ψ* （2） i =

t2m

ψ×（1）-ψ×（2）,得

*

2*2 *

(ψψ)= ψ ψ ψ 2ψ*)+2iψ*V2ψi ( t2m

2 = (ψ* ψ ψ ψ*)+2iV2ψ*ψ2m

∴

2V *

ψψ= ψ* ψ ψ ψ*+2ψ*ψ （3）

t2im

()()()

即

2V ρ

+ j=2ρ≠0 ，

t

此即几率不守恒的微分表达式。

（b）式（3）对空间体积τ积分，得

2 3***3

drdrd3rV2ψ*ψ= +ψψψψψψ∫∫∫∫∫∫∫∫∫2imτ tτ τ

…… 此处隐藏：8783字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……