一阶微分方程的 解法及应用习题

第十二章 习题课 (一) 一阶微分方程的 解法及应用

一、一阶微分方程求解 二、解微分方程应用问题

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一、一阶微分方程求解1. 一阶标准类型方程求解 四个标准类型: 可分离变量方程, 齐次方程, 线性方程, 全微分方程 关键: 关键 辨别方程类型 , 掌握求解步骤 2. 一阶非标准类型方程求解 (1) 变量代换法 —— 代换自变量 自变量 代换因变量 因变量 代换某组合式 某组合式 (2) 积分因子法 —— 选积分因子, 解全微分方程机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1. 求下列方程的通解 1 y3 +x ′ = x2 y 2 + y ; (1) y′ + 2 e = 0; (2) xy y 3 2 1 6x + 3xy (3) y′ = ; (4) y′ = 2 . 2 3 2x y 3x y + 2y 提示: (1) 因e 提示y3 +x

= e e , 故为分离变量方程: dy = e dxx

y3 x

y e通解

2 y3

1 y3 e = ex + C 3

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′ = x2 y2 + y (2) xy方程两边同除以 x 即为齐次方程 , 令 y = u x ,化为分 离变量方程.

y y′ = 1 ( x

)

2

y + x2

xu′ = 1 u2 xu′ = 1 u2

dx 化为 2x = y2 , 调换自变量与因变量的地位 , dy 用线性方程通解公式求解 .机动 目录 上页 下页 返回 结束

y y x < 0 时，′ = 1 ( x 1 (3) y′ = 2x y2

)

y + x

6x3 + 3xy2 (4) y′ = 2 3x y + 2y3

y 方法 1 这是一个齐次方程 . 令 u = x 方法 2 化为微分形式

( 6x3 + 3xy2 ) dx + ( 3x2 y + 2y3 ) dy = 0 P Q Q = 6xy = x y故这是一个全微分方程 .

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例2. 求下列方程的通解:

(1) xy′ + y = y ( ln x + ln y )(2) 2 x ln x dy + y ( y2 ln x 1) dx = 0 3x2 + y2 6x + 3 (3) y′ = 2xy 2y (4) y2 (x 3y ) dx + (1 3 xy2 ) dy = 0提示: 提示 (1) 原方程化为 du u = ln u (分离变量方程) 令u=xy,得 dx x (2) 将方程改写为 3 dy 1 y 2 y = (贝努里方程) 令 z = y d x 2x ln x 2x机动 目录 上页 下页 返回 结束

3x + y 6x + 3 (3) y′ = 2xy 2y2 2

d y 3(x 1)2 + y2 化方程为 = dx 2y (x 1)dy dy dt dy = = 令t=x–1,则 dx d t dx d t dy 3t 2 + y2 (齐次方程) = dt 2t y 令y=ut可分离变量方程求解

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(4) y (x 3y ) dx + (1 3 xy ) dy = 02 2

变方程为 y2 x dx + dy 3 y2 ( ydx + xdy) = 0 两边乘积分因子 µ = y 2

x dx +y dy 3( ydx + xdy) = 0用凑微分法得通解: 1 2 1 x y 3 xy = C 2

2

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例3. 设F(x)=f (x) g(x), 其中函数 f(x), g(x) 在(-∞,+∞) 内满足以下条件: f ′(x) = g(x), g′(x) = f (x), 且 f (0) = 0,

f (x) + g(x) = 2ex .(1) 求F(x) 所满足的一阶微分方程 ; (2) 求出F(x) 的表达式 . 解: (1) Q F′(x) = f ′(x)g(x) + f (x)g′(x)(03考研)

= g (x) + f (x)2 2

= [g(x) + f (x)] 2 f (x)g(x)2

= (2e ) 2F(x)x

2

所以F(x) 满足的一阶线性非齐次微分方程:机动 目录 上页 下页 返回 结束

F′(x) + 2F(x) = 4e2x(2) 由一阶线性微分方程解的公式得

F(x) = e

∫ 2d x

∫ 2d x d x + C ] [ ∫ 4e e2x

= e 2x [ ∫ 4e4x d x + C ]

= e2x + Ce 2x 将 F(0) = f (0)g(0) = 0 代入上式， C = 1 得于是

F(x) = e

2x

e

2x

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练习题: 练习题 P326 题1,2,3(1), (2), (3), (4), (5), (9), (10)(题3只考虑方法及步骤)

P326 题2 求以2 2

为通解的微分方程.

( x + C ) + y = 1 消去 C 得 提示: 提示 2( x + C ) + 2y y′ = 0 P327 题3 求下列微分方程的通解:提示: 提示 令 u = x y , 化成可分离变量方程 : 提示: 提示 这是一阶线性方程 , 其中

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dy y = (3) dx 2( ln y x) 提示: 提示 可化为关于 x 的一阶线性方程 dy 3 3 (4) + xy x y = 0 dx z = y 2 提示: 提示 为贝努里方程 , 令 y dy x dy 微分倒推公式 (5) xdx + ydy + 2 =0 2 x +y 提示: 提示 为全微分方程 , 通解

(9) ( y4 3x2 ) dy + xydx = 0提示: 提示 可化为贝努里方程 令 z = x2机动 目录 上页 下页 返回 结束

(10) y′ + x = x2 + y提示: 提示 令 u = x2 + y x , 即 y = 2 x u + u2 , 则 du du dy = 2u + 2x + 2u dx dx dx 原方程化为2 ∫ d u x =e u2 ∫ u du 2e du + C

[∫

]

1 2 = 2 [ ∫ 2u du + C ] u 故原方程通解机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、解微分方程应用问题关键问题是正确建立数学模型, 要点: 利用共性建立微分方程 , 利用个性确定定解条件. 例4. 设河边点 O 的正对岸为点 A , 河宽 OA = h, 两岸 为平行直线, 水流速度大小为 a , 一鸭子从点 A 游向点 y O , 设鸭子(在静水中)的游速大小为b

(b > a), 且鸭子游动方向始终朝着点O ,求鸭子游动的轨迹方程 . 提示: 提示 如图所示建立坐标系. 则

A

h

b

Pax

a = (a , 0)机动 目录

o

设时刻t 鸭子位于点P (x, y) , 则鸭子游速 b 为上页 下页 返回 结束

b = b PO = b (0

x x +y2 2

,

y x +y2 2

)

y A

dx dy 鸭子的实际运动速度为 v = ( , ), dt dt

h

v = a + b =( a 由此得微分方程

bx x +y2 2

,

by2

x +y

2

)

o

Pa b r vx

dx vx a x2 + y2 x = = + by y d y vy

即

a dx = b dy

(

x y

)

2

x ( 齐次方程 ) +1 + y

定解条件 x

y=h

= 0 . ( 求解过程参考P273例3 )机动 目录 …… 此处隐藏：1432字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……