2014届高三数学(理)一轮专题复习课件 立体几何中的向量方法

§8.7

立体几何中的向量方法

[高考调研考 纲 解 读

明确考向]考 情 分 析

理解直线的方向向量与平面的法向量. 能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、 平面与平面的垂直、平行关系. 一些定理(包括三垂线定理). 能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、 平面与平面的夹角的计算问题， 了解向量方法在 研究立体几何问题中的应用. 利用向量法求空间角 的大小是命题的热

能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的 点.着重考查学生建立 空间坐标系及空间向量 坐标运算的能力.题型 多为解答题，难度中档.

知识梳理 1.两个重要向量 (1)直线的方向向量：直线的方向向量是指和这条直线平 1 行(或重合)的向量，一条直线的方向向量有□______个. (2)平面的法向量： 直线 l⊥平面 α, 取直线 l 的方向向量， 则这个向量叫做平面 α 的法向量.显然一个平面的法向量有 2 □______个，它们是共线向量.

2. 直线的方向向量与平面的法向量在确定直线和平面位 置关系中的应用 (1)直线 l1 的方向向量为 u1=(a1,b1,c1),直线 l2 的方向 向量为 u2=(a2,b2,c2). 3 如果 l1∥l2, 那么 u1∥u2 u1=λu2 □______________; 4 如果 l1⊥l2,那么 u1⊥u2 u1·2=0 □____________. u

(2)直线 l 的方向向量为 u=(a1,b1,c1),平面 α 的法向 量为 n=(a2,b2,c2). 5 若 l∥α,则 u⊥n u· n=0 □______________. 6 若 l⊥α,则 u∥n u=kn □______________.

(3)平面 α 的法向量为 u1=(a1,b1,c1),平面 β 的法向量 为 u2=(a2,b2,c2). 7 若 α∥β, 1∥u2 u1=ku2 (a1, 1, 1)=□__________; u b c 8 若 α⊥β,则 u1⊥u2 u1· 2=0 □______________. u

3.利用空间向量求空间角 (1)求两条异面直线所成的角：设 a、b 分别是两异面直线 l1、l2 的方向向量，则

l1 与 l2 所成的角 θ 范围 π 0, 2

a 与 b 的夹角 〈a, b〉 0≤〈a,b〉≤π

求法

9 10 cosθ=|cos〈a,b〉|=□ cos〈a,b〉=□ __________ ________

(Ⅱ)设 n1、n2 分别是二面角 α-l-β 的两个半平面 α、β 的法向量，则向量 n1 与 n2 的夹角(或其补角)的大小就是二面 角的大小(如图②③).

①

②

③

1 答案：□无数

2 3 □无数 □a1=λa2,b1=λb2,c1=λc2

4 5 6 □a1a2+b1b2+c1c2=0 □a1a2+b1b2+c1c2=0

□a1 =ka2,b1=kb2,c1=kc2 c1c2=0 |a· b| 9 □|a||b| 7 8 □k(a2,b2,c2) □a1a2+b1b2+ 11 □ |a· b| |a||b|

b 10 a· □|a||b|

名 师 微 博 ●一种思想 转化思想，即空间平行与垂直关系，空间角的计算可转 化为空间向量的几何运算或坐标运算，实现了“数”与 “形”的有机结合.

●易误警示 利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面 α、β 的法向量 n1,n2 时，要根据向量的坐标在图形中观察法 向量的方向，从而确定二面角与向量 n1,n2 的夹角是相等， 还是互补，这是利用向量求二面角的难点、易错点.

基 础 自 测 1.已知两平面的法向量分别为 m=(0,1,0),n=(0,1,1),则 两平面所成的二面角的大小为( A.45° C.45° 135° 或 ) B.135° D.90°

1 2 m· n 解析：cos〈m,n〉=|m||n|= = 2 ,即〈m,n〉 1× 2 =45° ,其补角为 135° , 故两平面所成的二面角为 45° 135° 或 .

答案：C