高等数学A复习ppt7无穷小比较

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第七节 无穷小的比较2

第一章

引例 . x 0 时 , 3 x , x , sin x 都是无穷小, 但

sin x 1 x lim , 0, lim x 0 3 x 3 x 0 3 x sin x lim 2 , x 0 x可见无穷小趋于 0 的速度是多样的 .

2

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定义. 设 , 是自变量同一变化过程中的无穷小,

若 lim 0 , 则称 是比 高阶的无穷小, 记作 o( ) 若 lim , 则称 是比 低阶的无穷小; 若 lim C 0 , 则称 是 的同阶无穷小;

若 lim k C 0 , 则称 是关于 的 k 阶无穷小; 若 lim 1, 则称 是 的等价无穷小, 记作 ~ 或 ~ 机动 目录 上页 下页 返回 结束

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例如 , 当 x 0 时

x 3 o( 6x 2 ) ; sin x ~ x ; tan x ~ x arcsin x ~x又如 ，

1 cos x lim 2 x 0 x故 时

2 x 2 sin 2 lim 2 x 0 4( x ) 2

1 2

是关于 x 的二阶无穷小, 且

1 cos

1 x2 x~ 2

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例1. 证明: 当证:

时,

~

(a b) (a n 1 a n 2b b n 1 ) a b n n

~机动 目录 上页 下页 返回 结束

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定理1.证:

~

o( ) lim 1 lim( 1) 0, 即 lim 0

~

o( ) , 即 o( )例如, x 0 时,

~

tan x ~x , 故tan x x o( x)

x 0 时,

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定理2 . 设

且

存在 , 则

lim 证:

lim lim lim lim lim lim

例如,

2x 2 tan 2 x lim lim x 0 5 x 5 x 0 sin 5 x

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说明: 设对同一变化过程 , , 为无穷小 , 由等价无穷小的性质, 可得简化某些极限运算的下述规则.

(1) 和差取大规则: 若 = o( ) , 则 ~ 1 x sin x lim 例如, lim 3 3 x 0 3 x x 0 x 3 x (2) 和差代替规则: 若 ~ , ~ 且 与 不等价, lim , 则 ~ , 且 lim

但 ~ 时此结论未必成立 .

2x x tan 2 x sin x lim 1 例如, lim 2 1 x 1 x 0 x x 0 2机动 目录 上页 下页 返回 结束

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(3) 因式代替规则: 若 ~ , 且 ( x) 极限存在或有 界, 则 例如,

lim ( x) lim ( x) 1 1 lim arcsin x sin lim x sin 0 x 0 x x 0 x

tan x sin x 例1. 求 lim . 3 x 0 x解: 原式

x x 原式 lim 3 x 0 x lim x 1 x2 2 x3机动 目录 上页 下页 返回 结束

x 0

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(1 1 . 例2. 求 lim x 0 cos x 1解:

1 x2 )3

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内容小结1. 无穷小的比较

设 , 对同一自变量的变化过程为无穷小, 且 0

是 的高阶无穷小 是 的低阶无穷小 是 的同阶无穷小 是 的等价无穷小 是 的 k 阶无穷小机动 目录 上页 下页 返回 结束

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常用等价无穷小 :

~

~

~

~2. 等价无穷小替换定理Th 2

~

思考与练习

P59 题1 , 2

作业 P59 3 ; 4 (2) , (3) , (4) ; 5 (3)第八节 目录 上页 下页 返回 结束