高中数学一轮(理科)人教B版配套课件第三章导数及其应用专题探究课 导数问题

热点一 利用导数解决函数的单调性

热点二 利用导数求解函数的极值、 最值问题 热点三 利用导数解决与不等式有关 的恒成立和存在性问题 热点四 利用导数研究方程解或图象 交点问题

热点突破热点一 利用导数解决函数的单调性问题

函数的单调性是函数在定义域内的局部性质，因此利 用导数讨论函数的单调性时，要先研究函数的定义域，再 利用导数f′(x)在定义域内的符号来判断函数的单调性.这 类问题主要有两种考查方式： (1)判断函数f(x)的单调性或求单调区间； (2)利用函数的单调性或单调区间，求参数的范围.

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【例 1】 (12 分)(2015· 济南模拟)已知函数 f(x)=x2e ax,a∈R. (1)当 a=1 时， 求函数 y=f(x)的图象在点(-1, f(-1))处的切线方程. (2)讨论 f(x)的单调性.

解 (1)因为当a=1时，f(x)=x2e-x, f′(x)=2xe-x-x2e-x=(2x-x2)e-x, 所以f(-1)=e,f′(-1)=-3e. 从而y=f(x)的图象在点(-1,f(-1))处的切线方程为 y-e=-3e(x+1), 即y=-3ex-2e.(5分) (2)f′(x)=2xe-ax-ax2e-ax=(2x-ax2)e-ax. ①当a=0时，若x<0,则f′(x)<0,若x>0,则f′(x)>0. 所以当a=0时，函数f(x)在区间(-∞,0)上为减函数， 在区间(0,+∞)上为增函数.(7分)第3页

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【例 1】 (12 分)(2015· 济南模拟)已知函数 f(x)=x2e ax,a∈R. (1)当 a=1 时， 求函数 y=f(x)的图象在点(-1, f(-1))处的切线方程. (2)讨论 f(x)的单调性.

2 ②当 a>0 时，由 2x-ax <0,解得 x<0 或 x> , a 2 2 由 2x-ax >0,解得 0<x< . a 2 所以当 a>0 时，函数 f(x)在区间(-∞,0), a,+∞ 上为减函数， 2 在区间 0,a 上为增函数.(9 分) 2 2 ③当 a<0 时，由 2x-ax <0,解得 <x<0, a 2 由 2x-ax2>0,解得 x< 或 x>0. a2第4页

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【例 1】 (12 分)(2015· 济南模拟)已知函数 f(x)=x2e ax,a∈R. (1)当 a=1 时， 求函数 y=f(x)的图象在点(-1, f(-1))处的切线方程. (2)讨论 f(x)的单调性. 2 所以，当 a<0 时，函数 f(x)在区间 -∞,a , 2 (0,+∞)上为增函数，在区间 ，0 上为减函数.(11 分) a 综上所述， 当a=0时，f(x)在(-∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增； 2 当 a>0 时，f(x)在(-∞,0), a,+∞ 上单调递减， 2 在 0,a 上单调递增； 2 当 a<0 时，f(x)在 a,0 上单调递减， 2 - ∞ , 在 a ,(0,+∞)上单

调递增.(12 分)

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求含参函数f(x)的单调区间的一般步骤：第一步 第二步 第三步 第四步 第五步

求函数 f(x)的定义域(根据已知函数解析式确定) 求函数 f(x)的导数 f′(x)根据参数分类讨论

求解(令 f′(x)>0 或令 f′(x)<0)

下结论.

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(1)判断函数的单调性，求函数的单调区间、极值等问题， 最终归结到判断f′(x)的符号问题上，而f′(x)>0或f′(x)<0,最终 可转化为一个一元一次或一元二次不等式问题.若含参数，则 含参数的二次不等式的解法常常涉及到参数的讨论问题，只要 把握好下面的四个“讨论点”,一切便迎刃而解.分类标准一： 二次项系数是否为零，目的是讨论不等式是否为二次不等式； 分类标准二：二次项系数的正负，目的是讨论二次函数图象的 开口方向；分类标准三：判别式的正负，目的是讨论二次方程 是否有解；分类标准四：两根差的正负，目的是比较根的大小 . (2)若已知f(x)的单调性，则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单 调区间上恒成立问题.第7页

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热点一

利用导数解决函数的单调性问题

【训练1】已知函数f(x)=exln x-aex(a≠0). (1)若函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线与直线x-ey-1=0垂 直，求实数a的值；(2)若函数f(x)在区间(0,+∞)上是单调函数， 求实数a的取值范围.1 1 x 解 (1)f′(x)=e ln x+e · -ae =( -a+ln x)ex(x>0), x x f′(1)=(1-a)e, 1 由(1-a)e· =-1 得 a=2. e 1 (2)由(1)知 f′(x)=( -a+ln x)ex(x>0), x 若f(x)在(0,+∞)上为单调递减函数， 则f′(x)≤0,在(0,+∞)上恒成立.x x

1 1 即 -a+ln x≤0,所以 a≥ +ln x. x x第8页

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热点一

利用导数解决函数的单调性问题

【训练1】已知函数f(x)=exln x-aex(a≠0).(2)若函数f(x)在区间 (0,+∞)上是单调函数，求实数a的取值范围.1 1 1 x-1 令 g(x)= +ln x(x>0), 则 g′(x)=- 2+ = 2 (x>0), x x x x 由g′(x)>0得x>1,故g(x)在(0,1]上为单调递减函数， 在[1,+∞)上为单调递增函数， 此时g(x)有最小值为g(1)=1,但g(x)无最大值. 故f(x)不可能是单调递减函数. 若f(x)在(0,+∞)上为单调递增函数， 则f′(x)≥0在(0,+∞)上恒成立， 1 1 即 -a+ln x≥0,所以 a≤ +ln x, x x 由上述推理可知此时a≤1. 故a的取值范围是(-∞,1].第9页

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热点二

利用导数求解函数的极值、最值问题

用导数研究函数的极值或

最值是高考命题的重要题型之 一.对于此类问题的求解，首先，要理解函数极值的概念， 需要清楚导数为零的点不一定是极值 …… 此处隐藏：1282字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……