1.利用定积分定义求极限

2

2

2

2

2

412

411

41[

).1(lim n

n n n n -+

+-+

-∞

→

))1(sin 2sin (sin 1).2(lim

n

n n n n n πππ-+++∞

→ ])(41)(41)2(41141[1

)1(2

2

2

2

n

n n

i n

n n

-+

+-+

+-+

-

=

原式解：

上的，在区间从上式可以看出它是]10[41)(2

x x f -=

一个积分和式，于是

⎰

⎰

⎰

-=

-=-=

10

2

10

2

10

2

)2

()2

(11)2

(121

41x d x

dx x

dx x 原式 2

1

arctan 2

arctan

10

==x

)0)1(sin 2sin (sin 1

)2(lim

+-+++=

∞

→n

n n n n n πππ

π

原式 )sin )1(sin 2sin (sin 1

lim

πππππ

π

n

n n n n n n n +-+++=

∞

→ 上的，在区间从上式可以看出它是]0[sin )(πx x f =一个积分和式，于是 ⎰

=

=

π

π

π

2

sin 1

xdx 原式

2不通过计算证明下列不等式

2

12

2

2

(1)sin 1

(2)x xdx e dx π

-

-<<<⎰⎰

解：2(1)[0]sin sin 2

x x π

≤在，上

2

2220

sin sin cos 1dx xdx x

π

π

π

∴<=-=⎰⎰