定积分复习3解答

1. 定积分的定义

0011()lim ()lim ()n n

b

a h h k k f x dx f a kh h h f a kh →→===+=+∑∑⎰ 2、定积分的性质

性质1：

⎰±b a dx x g x f )]()([⎰=b a dx x f )(⎰±b a dx x g )( 性质2：⎰⎰=b

a b

a dx x f k dx x kf )()( (k 为常数) 性质3： 假设b

c a <<⎰b a dx x f )(⎰⎰+=b c c a dx x f dx x f )()( 性质4：dx b a ⋅⎰1dx b a ⎰=a b -=

性质5： 如果在区间],[b a 上0)(≥x f ，则0)(≥⎰dx x f b

a )(

b a <

推论：（1）如果在区间],[b a 上)()(x g x f ≤，则

dx x f b a ⎰)( dx x g b a ⎰≤)( )(b a < （2）dx x f b

a ⎰)(dx x f b

a ⎰≤)( )(

b a < 性质6：设M 和m 分别是)(x f 在区间],[b a 上的最大值及最小值，则

)()()(a b M dx x f a b m b

a -≤≤-⎰. 性质7： (定积分中值定理)如果函数)(x f 在闭区间],[

b a 上连续，则在积分区间],[b a

上至少存在一个点ξ，使

dx x f b a ⎰)())((a b f -=ξ )(b a ≤≤ξ 3、定积分的计算法

（1）换元法：dt t t f dx x f b

a ⎰⎰'=β

αϕϕ)()]([)( （2）分部积分法：⎰⎰-=b

a b a b

a vdu uv udv ][ 4. 定积分计算的特殊方法

（1）若()=()f x f x -，则0()2()a

a

a f x dx f x dx -=⎰⎰ （2）若()=()f x f x --，则

()0a a f x dx -=⎰ （3）

()()()00a a a a f x dx f x dx f x dx -+-=⎰⎰⎰ 练习