2014年中考数学压轴题精编—浙江篇

1．（浙江省杭州市）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线的解析式是y ＝4

1x 2＋1，点C 的坐标为（－4，0），平行四边形OABC 的顶点A ，B 在抛物线上，AB 与y 轴交于点M ，已知点Q （x ，y ）在抛物线上，点P （t ，0）在x 轴上．

（1）写出点M 的坐标；

（2）当四边形CMQP 是以MQ ，PC 为腰的梯形时． ①求t 关于x 的函数解析式和自变量x

②当梯形CMQP 的两底的长度之比为1 :

2时，求t 1．解：

（1）∵OABC 是平行四边形，∴AB

∥OC ，且AB ＝OC ＝4

∵A ，B 在抛物线上，y 轴是抛物线的对称轴，∴A ，B 的横坐标分别是2和－2

代入y ＝4

1x 2＋1，得A （2，2），B （－2，2） ∴M （0，2） ················································· 2分 （2）①过点Q 作QH ⊥x 轴于H ，连接CM

则QH ＝y ，PH ＝x －t

由△PHQ ∽△COM ，得：2y ＝4

t x ，即t ＝x －2y ∵Q （x ，y ）在抛物线y ＝4

1x 2＋1上 ∴t ＝－21x 2＋x －2 ··········································· 4分 当点P 与点C 重合时，梯形不存在，此时，t ＝－4，解得x ＝1±5

当Q 与B 或A 重合时，四边形为平行四边形，此时，x ＝±2

∴x 的取值范围是x ≠1±5且x ≠±2的所有实数 ········································ 6分

②分两种情况讨论：

ⅰ）当CM ＞PQ 时，则点P 在线段OC 上

∵CM ∥PQ ，CM ＝2PQ ，∴点M 纵坐标为点Q 纵坐标的2倍

即2＝2(

41x 2＋1)，解得x ＝0 ∴t ＝－2

1×02＋0－2＝－2 ········································································· 8分 ⅱ）当CM ＜PQ 时，则点P 在OC 的延长线上

∵CM ∥PQ ，CM ＝

21PQ ，∴点Q 纵坐标为点M 纵坐标的2倍 即41x

2＋1＝2×2，解得：x ＝±32 ························································· 10分 当x ＝－32时，得t ＝－21×(－32)2－32－2＝－8－32

当x ＝32时，得t ＝－

2

1

×(32)2＋32－2＝32－8 ································ 12分 2．（浙江省台州市）如图1，Rt △ABC ≌Rt △EDF ，∠ACB ＝∠F ＝90°，∠A ＝∠E ＝30°．△EDF 绕着边AB 的中点D 旋转，DE ，DF 分别交线段．．AC 于点M ，K ． （1）观察：①如图2、图3，当∠CDF ＝0°或60°时，AM ＋CK _______MK （填“＞”，“＜”或“＝”）．

②如图4，当∠CDF ＝30°时，AM ＋CK _______MK （只填“＞”或“＜”）．

（2）猜想：如图1，当0°＜∠CDF ＜60°时，AM ＋CK _______MK ，证明你所得到的结论． （3）如果MK 2

＋CK 2

＝AM 2

，请直接写出∠CDF 的度数和AM MK

的值． 2．解：

（1）①＝ ②＞ ················································································· 4分 （2）＞ ································································································ 6分 证明：作点C 关于FD 的对称点G ，连接GK 、GM 、GD 则GD ＝CD ，GK ＝CK ，∠GDK ＝∠CDK ∵D 是AB 的中点，∴AD ＝CD ＝GD ∵∠A ＝30°，∴∠CDA ＝120°

∵∠EDF ＝60°，∴∠GDM ＋∠GDK ＝60° ∠ADM ＋∠CDK ＝60°

∴∠ADM ＝∠GDM ． ·············································································· 9分 又∵DM ＝DM ，∴△ADM ≌△GDM ，∴GM ＝AM

∵GM ＋GK ＞MK ，∴AM ＋CK ＞MK ． ······················································· 10分 （3）∠CDF ＝15°，

AM

MK

＝23． ···························································· 12分

3．（浙江省台州市）如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝6，AC ＝8．点P ，Q 都是斜边AB 上的动点，点P 从B 向A 运动（不与点B 重合），点Q 从A 向B 运动，BP ＝AQ ．点D ，E 分别是点A ，B 以Q ，P 为对

D

B C

A

F E

M K 图1

D

B

C A

(F ,K )

E

M 图2

D

B

C F

E

K

图3

)

D

B

C

A

F E

M K

图4

D

B

C A

F

E

M

K

G

称中心的对称点，HQ ⊥AB 于Q ，交AC 于点H ．当点E 到达顶点A 时，P ，Q 同时停止运动．设BP 的长为x ，△HDE 的面积为y ． （1）求证：△DHQ ∽△ABC ；

（2）求y 关于x 的函数解析式并求y 的最大值； （3）当x 为何值时，△HDE 为等腰三角形？ 3．解：

（1）∵A 、D 关于点Q 成中心对称，HQ ⊥AB ， ∴∠HQD ＝∠C ＝90°，HD ＝HA

∴∠HDQ ＝∠A ． ··················································································· 3分 ∴△DHQ ∽△ABC ． ··············································································· 4分 （2）①如图1，当0＜x

≤2.5时

ED ＝10－4x ，QH ＝AQ ·tan ∠A ＝4

3

x 此时y ＝21(10－4x )·43x ＝－23x

2＋4

15x ······················································ 6分

当x

＝

45时，y 最大＝32

75

················································ 7分 ②如图2，当2.5＜x

≤5时

ED ＝4x －10，QH ＝AQ ·tan ∠A ＝4

3

x

此时y ＝21(4x －10)·43x ＝23x

2－4

15

x ······························ 9分

当x ＝5时，y 最大＝

4

75

∴y 与x 之间的函数解析式为y ＝⎪⎩⎪⎨⎧-+-x x x x 415

2

3415

2322

y 的最大值是4

75

． ····················································· 10分

（3）①如图1，当0＜x

≤2.5时

若DE ＝DH ，∵DH ＝AH ＝A QA ∠cos ＝4

5

x ，DE ＝10－4x

∴10－4x ＝45x ，∴x ＝21

40

显然ED ＝EH ，HD ＝HE 不可能； ···························································· 11分 ②如图2，当2.5＜x

≤5时

若DE ＝DH ，则4x －10＝45x ，∴x ＝11

40

； ·················································· 12分 若HD ＝HE ，此时点D ，E 分别与点B ，A 重合，x ＝5； ······························· 13分 若ED ＝EH ，则△EDH ∽△HDA

（0＜x

≤2.5）

（2.5＜x

≤5）

（图1）

（图2）

∴DH ED ＝AD DH ，即x x 4

5104-＝x x 245，∴x ＝103320 ············································ 14分 ∴当x 的值为2140，1140，5，103

320时，△HDE 是等腰三角形．

4．（浙江省温州市）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，过点B 作射线BB l ∥AC ．动点D 从点A 出发沿射线AC 方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E 从点C 出发沿射线AC 方向以每秒3个单位的速度运动．过点D 作DH ⊥AB 于H ，过点E 作EF 上AC 交射线BB 1于F ，G 是EF 中点，连结DG ．设点D 运动的时间为t 秒．

（1）当t 为何值时，AD ＝AB ，并求出此时DE 的长度；

（2）当△DEG 与△ACB 相似时，求t 的值；

（3）以DH 所在直线为对称轴，线段AC 经轴对称变换后

的图形为A ′C ′．

①当t ＞5

3时，连结C ′C ，设四边形ACC ′A ′ 的面积为S ， 求S 关于t 的函数关系式；

②当线段A ′C ′ 与射线BB 1有公共点时，求t 的取值范围

（写出答案即可）． 4．解：

（1）∵∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4

∴AB ＝2243

＋＝5 ················································································ 1分 ∵AD ＝5t ，CE ＝3t ，∴当AD ＝AB 时，5t ＝5

∴t ＝1 ·································································································· 2分

∴AE ＝AC ＋CE ＝3＋3t ＝6 ········································································ 3分

∴DE ＝6－5＝1 ······················································································ 4分

（2）∵EF ＝BC ＝4，G 是EF 中点，∴GE ＝2

当AD ＜AE （即t ＜2

3）时，DE ＝AE －AD ＝3＋3t －5t ＝3－2t 若△DEG 与△ACB 相似，则

EG DE ＝BC AC 或EG DE ＝AC BC ∴223t -＝43或223t -＝3

4 ∴t ＝43或t ＝6

1 ······················································································ 6分 当AD ＞AE （即t ＞2

3）时，DE ＝AD －AE ＝5t －(3＋3t )＝2t －3 若△DEG 与△ACB 相似，则

EG DE ＝BC AC 或EG DE ＝AC BC ∴232-t ＝43或232-t ＝34 D B H A

E G

F C B 1

∴t ＝

49或t ＝6

17 ···················································································· 8分 综上所述，当t ＝43或61或49或6

17

时，△DEG 与△ACB 相似 （3）①由轴对称变换得AA ′⊥DH ，CC ′⊥DH ∴AA ′∥CC ′

易知OC ≠AH ，故AA ′≠CC ′

∴四边形ACC ′A ′

是梯形 ······································· 9分

∵∠A ＝∠A ，∠AHD ＝∠ACB ＝90° ∴△AHD ∽△ACB ，AC AH ＝BC DH ＝

AB

AD

∴AH ＝3t ，DH ＝4t ∵sin ∠ADH ＝sin ∠CDO ，∴AD AH ＝

CD

CO

即

53＝

35 t CO ，∴CO ＝3t －5

9

∴AA ′＝2AH ＝6t ，CC ′＝2CO ＝6t －518····················· 10分

∵OD ＝CD ·cos ∠CDO ＝(5t －3)×54＝4t －512

∴OH ＝DH －OD ＝5

12

············································································ 11分 ∴S ＝21(

AA ′＋CC ′ )·OH ＝21(6t ＋6t －518)×512＝572t －25

108 ························· 12分 ②

65≤t

≤30

43 ···················································· 14分 略解：当点A ′

落在射线BB 1上时（如图甲），AA ′＝AB ＝5

∴6t ＝5，∴t ＝6

5

当点C ′

落在射线BB 1上时（如图乙），易得CC ′∥AB

故四边形ACC ′B 是平行四边形 ∴6t －518＝5，∴t ＝30

43

故

65≤t

≤30

43

5．（浙江省湖州市）如图，已知在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，P 是线段AD 边上的任意一点（不含端

点A ，D ），连结PC ，过点P 作PE ⊥PC 交AB 于E ．

（1）在线段AD 上是否存在不同于P 的点Q ，使得QC ⊥QE ？若存在，求线段AP 与AQ 之间的数量关系；

若不存在，请说明理由；

（2）当点P 在AD 上运动时，对应的点E 也随之在AB 上运动，求BE 的取值范围．

A P D

E

D B H

A

E

G F C

B 1

C ′ O A ′

D B H

A E

G F

C

B 1

（图乙）

C ′ O

D B H A

E

G

F C B 1

(A ′) （图甲）

5．解：

（1）假设存在这样的点Q

∵PE ⊥PC ，∴∠APE ＋∠DPC ＝90°

∵∠D ＝90°，∴∠DPC ＋∠DCP ＝90°

∴∠APE ＝∠DCP ，又∵∠A ＝∠D ＝90°

∴△APE ∽△DCP ，∴

DC AP ＝DP AE ，∴AP ·DP ＝AE ·DC 同理可得

AQ ·DQ ＝AE ·DC ∴AQ ·DQ ＝AP ·DP ，即AQ ·(3－AQ )＝AP ·(3－AP ) ∴AP 2－AQ 2＝3AP －3AQ ，∴(AP ＋AQ )(AP －AQ )＝3(AP －AQ )

∵AP ≠AQ ，∴AP ＋AQ ＝3 ··························································· 2分

∵AP ≠AQ ，∴AP ≠2

3，即P 不能是AD 的中点 ∴当P 是AD 的中点时，满足条件的Q 点不存在

所以，当P 不是AD 的中点时，总存在这样的点Q 满足条件

此时AP ＋AQ ＝3 ········································································ 3分

（2）设AP ＝x ，AE ＝y ，由AP ·DP ＝AE ·DC 可得x (3－x )＝2y

∴y ＝21x (3－x )＝－21x

2＋23x ＝－21(x －23)2＋89 ∴当x ＝23（在0＜x ＜3范围内）时，y 最大值＝8

9 ∴BE 的取值范围为

87≤BE ＜2 ······················································ 5分

6．（浙江省湖州市）如图，已知直角梯形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，OA ＝AB ＝2，OC ＝3，过点B 作BD ⊥BC ，交OA 于点D ．将∠DBC 绕点B 按顺时针方向旋转，角的两边分别交y 轴的正半轴、x 轴的正半轴于E 和F ．

（1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；

（2）当BE 经过（1）中抛物线的顶点时，求CF 的长；

（3）连结EF ，设△BEF 与△BFC 的面积之差为S ，问：当CF 为何值时S 最小，并求出这个最小值．

B C A P D E Q

6．解：

（1）由题意得A （0，2），B （2，2），C （3，0）

设所求抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c

则⎩⎪⎨⎪⎧c ＝24a ＋2b ＋c ＝29a ＋3b ＋c ＝0

解得⎩⎨⎧a ＝－32b ＝34c ＝2 .......................................................... 3分 ∴抛物线的解析式为y ＝－32x 2＋34x ＋2 .. (4)

（2）设抛物线的顶点为G ，则G （1，38），过点G 作GH ⊥AB 于则AH ＝BH ＝1，GH ＝3

8－2＝32 ∵EA ⊥AB ，GH ⊥AB ，∴EA ∥GH

∴GH 是△BEA 的中位线，∴EA ＝2GH ＝3

4 ····························过点B 作BM ⊥OC 于M ，则BM ＝OA ＝AB

∵∠EBF ＝∠ABM ＝90°，∴∠EBA ＝∠FBM ＝90°－∠ABF

∴Rt △EBA ≌Rt △FBM ，∴FM ＝EA ＝3

4 ∵CM ＝OC －OM ＝3－2＝1，∴CF ＝FM ＋CM ＝

37 ········································ 8分 （3）设CF ＝a ，则FM ＝a －1或1－a

∴BF 2＝FM 2＋BM 2＝(a －1)2＋2 2＝a 2

－2a ＋5 ∵△EBA ≌△FBM ，∴BE ＝BF

则S △BEF

＝21BE ·BF ＝21BF 2＝21(a 2－2a ＋5) ·············································· 9分 又∵S △BFC ＝

21FC ·BM ＝21×a ×2＝a ························································· 10分 ∴S

＝21(a 2－2a ＋5)－a ＝21a 2－2a ＋25 即S ＝

21(a －2)2＋2

1 ·············································································· 11分 ∴当a ＝2（在0＜a ＜3范围内）时， S 最小值 ＝2

1 ··························································································· 12分

7．（浙江省衢州市、丽水市、舟山市）△ABC 中，∠A ＝∠B ＝30°，AB ＝32．把△ABC 放在平面直角坐标系中，使AB 的中点位于坐标原点O （如图），△ABC 可以绕点O 作任意角度的旋转．

（1）当点B 在第一象限，纵坐标是

2

6

时，求点B 的横坐标； （2）如果抛物线y ＝ax

2

＋bx ＋c （a ≠0）的对称轴经过点C ，请你探究：

①当a ＝

45，b ＝－2

1

，c ＝－553时，A ，B 两点是否都在这条抛物线上？并说明理由； ②设b ＝－2am ，是否存在这样的m 的值，使A ，B 两点不可能同时在这条抛物线上？若存在，直接写出m 的值；若不存在，请说明理由．

7．解：

（1）∵点O 是AB 的中点，∴OB ＝

2

1

AB ＝3 ··········································· 1分 设点B 的横坐标是x （x ＞0），则x

2

＋(

2

6)2＝(3)2 ································· 2分 解得x 1＝

26，x 2＝－2

6

（舍去） ∴点B

··········································· 4分 （2）①当a ＝45，b ＝－2

1

，c ＝－553时， 得y ＝45x

2－2

1x －553 即y ＝

45( x －55)2－20

513 ···································· 5分 以下分两种情况讨论

情况1：设点C 在第一象限（如图甲），则点C 的横坐标为55

OC ＝OB ·tan30°＝3×3

3

＝1 ································ 6分

由此，可求得点C 的坐标为（

55，5

52） ················ 7分 点A 的坐标为（－5152，5

15

）

∵A ，B 两点关于原点对称，∴点B 的坐标为（5152，－5

15

) 将x ＝－5152代入y ＝45x

2－2

1x －553，得y ＝515

，即等于点A 的纵坐标； 将x ＝

5152代入y ＝45x

2－2

1x －553，得y ＝－515，即等于点B 的纵坐标． ∴在这种情况下，A ，B 两点都在抛物线上． ······················································· 9分

（甲）

（乙）

情况2：设点C 在第四象限（如图乙），则点C 的坐标为（

55，－552） 点A 的坐标为（

5152，515），点B 的坐标为（－5152，－515） ∵当x ＝5152时，y ＝－515；当x ＝－5152时，y ＝5

15 ∴A ，B 两点都不在这条抛物线上． ·································································· 10分

（情况2另解：经判断，如果A ，B 两点都在这条抛物线上，那么抛物线将开口向下，而已知的抛物线开口向上．所以A ，B 两点不可能都在这条抛物线上）

②存在．m 的值是1或－1． ············································································ 12分

（y ＝a (x －m )2 －am 2

＋c ，因为这条抛物线的对称轴经过点C ，所以－1≤m ≤1． 当m ＝±1时，点C 在x 轴上，此时A ，B 两点都在y 轴上．因此当m ＝±1时，A ，B 两点不可能同时在这条抛物线上）

8．（浙江省宁波市）如图1，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，□ABCD 的顶点A 的坐标为（－2，0），点D 的坐标为（0，32），点B 在x 轴的正半轴上，点E 为线段AD 的中点，过点E 的直线l 与x 轴交于点F ，与射线DC 交于点G ．

（1）求∠DCB 的度数；

（2）当点F 的坐标为（－4，0）时，求点G 的坐标；

（3）连结OE ，以OE 所在直线为对称轴，△OEF 经轴对称变换后得到△OEF ′ ，记直线EF ′

与射线DC 的交点为H ．

①如图2，当点G 在点H 的左侧时，求证：△DEG ∽△DHE ；

②若△EHG 的面积为33，请直接写出点F 的坐标．

8．解：

（1）在Rt △AOD 中，∵tan ∠DAO ＝AO

DO

＝232＝3 ∴∠DAB ＝60° ··········································································· 2分

∵四边形ABCD 是平行四边形

∴∠DCB ＝∠DAB ＝60° ······························································· 3分

（2）∵四边形ABCD 是平行四边形

∴CD ∥AB ，∴∠DGE ＝∠AFE

又∵∠DEG ＝∠AEF ，DE ＝AE （图2） （图1） （备用图）

∴△DEG ≌△AEF ， ····································································· 4分 ∴DG ＝AF ，∴AF ＝OF －OA ＝4－2＝2

∴点G 的坐标为（2，32） ························································· 6分

（3）①∵CD ∥AB ，∴∠DGE ＝∠OFE

∵△OEF 经轴对称变换后得到△OEF ′

∴∠OFE ＝∠OF ′E ，∴∠DGE ＝∠OF ′E ············································ 7分 在Rt △AOD 中，∵E 是AD 的中点，∴OE ＝

21AD ＝AE 又∵∠EAO ＝60°，∴∠EOA ＝∠AEO ＝60°

而∠EOF ′＝∠EOA ＝60°，∴∠EOF ′＝∠AEO

∴AD ∥OF ′ ·

················································································ 8分 ∴∠OF ′E ＝∠DEH ，∴∠DEH ＝∠DGE

又∵∠HDE ＝∠EDG

∴△DEG ∽△DHE ······································································· 9分 ②点F 的坐标为F 1（－13＋1，0），F 2（－13－5，0）··················· 12分 解答如下（原题不作要求，仅供参考）：

过点E 作EM ⊥直线CD 于M ，∵CD ∥AB ，∴∠EDM ＝∠DAB ＝60° ∴EM ＝DE ·sin60°＝2×

23＝3 ∵S △EHG ＝21GH ·EM ＝21GH ·3＝33 ∴GH ＝6 ∵△DEG ∽△DHE ，∴

DG DE ＝DE

DH ∴DE 2＝DG ·DH

当点H 在点G 的右侧时，设DG ＝x ，则DH ＝x ＋6

∴4＝x (x ＋6)，解得x 1＝－3＋13，x 2＝－3－13（舍去）

∵△DEG ≌△AEF ，∴OF ＝AO ＋AF ＝－3＋13＋2＝13－1

∴F 1（－13＋1，0）

当点H 在点G 的左侧时，设DG ＝x ，则DH ＝x －6

∴4＝x (x －6)，解得x 1＝3＋13，x 2＝3－13（舍去）

∵△DEG ≌△AEF ，∴AF ＝DG ＝3＋13

∴OF ＝AO ＋AF ＝3＋13＋2＝13＋5

∴F 2（－13－5，0） 综上所述，点F 的坐标有两个，分别是F 1（－13＋1，0），F 2（－13－5，0）

9．（浙江省金华市）已知点P 的坐标为（m ，0），在x 轴上存在点Q （不与P 点重合），以PQ 为边作正方

形PQMN ，使点M 落在反比例函数y ＝－

x

2

的图像上．小明对上述问题进行了探究，发现不论m 取何值，符合上述条件的正方形只有．．两个，且一个正方形的顶点M 在第四象限，另一个正方形的顶点M 1在第二象限． （1形PQMN M 1的坐标是____________

（2）请你通过改变P ，若点P 的坐标为（m ，0）时，则b ＝（3）依据（2 9．解：

（1）如图；M 1的坐标为（－1，2） ·······（2）k ＝－1，b ＝m ·····························（3）由（2）知，直线M 1M 的解析式为y 则M （x ，y ）满足x (－x ＋6)＝－2 解得x 1＝3＋11，x 2＝3－11 ∴y 1＝3－11，y 2＝3＋11 ∴M 1，M 的坐标分别为：

（3－11，3＋11），（3＋11，3 ··································

10．（浙江省金华市）如图，把含有30°角的三角板ABO 置入平面直角坐标系中，A ，B 两点的坐标分别为（3，0）和（0，33）．动点P 从A 点开始沿折线AO －OB －BA 运动，点P 在AO ，OB ，BA 上运动的速 度分别为1，3，2（长度单位/秒）．一直尺的上边缘l 从x 轴的位置开始以

3

3

（长度单位/秒）的速度向上平行移动（即移动过程中保持l ∥x 轴），且分别与OB ，AB 交于E ，F 两点．设动点P 与动直线l 同时出发，运动时间为t 秒，当点P 沿折线AO －OB －BA 运动一周时，直线l 和动点P 同时停止运动．

请解答下列问题：

（1）过A ，B 两点的直线解析式是___________________；

（2）当t ＝4时，点P 的坐标为____________；当t ＝________，点P 与点E 重合； （3）①作点P 关于直线EF 的对称点P ′，在运动过程中，若形成的四边形PEP ′F 为菱形，则t 的值是多少？ ②当t ＝2时，是否存在着点Q ，使得△FEQ ∽△BEP ？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．

10．解：

（1）y ＝－3x ＋33； ······································································· 4分 （2）（0，3），t ＝

2

9

； ······················································· 8分（各2分） （3）①当点P 在线段AO 上时，过F 作FG ⊥x 轴，G 为垂足（如图1）

∵OE ＝FG ，EP ＝FP ，∠EOP ＝∠FGP ＝90°

∴△EOP ≌△FGP ，∴OP ＝PG

又∵OE ＝FG ＝

33t ，∠A ＝60°，∴AG ＝ 60

tan FG ＝31

t 而AP ＝t ，∴OP ＝3－t ，PG ＝AP －AG ＝

3

2

t 由3－t ＝32t 得 t ＝5

9

········································· 9分

当点P 在线段OB 上时，形成的是三角形，不存在菱形；

当点P 在线段BA 上时，过P 作PH ⊥EF ，PM ⊥OB ，H 、M 分别为垂足（如图2）

∵OE ＝33t ，∴BE ＝33－33t ，∴EF ＝

60tan BE ＝3－31

t ∴MP ＝EH ＝

21EF ＝6

9t

-，又BP ＝2(t －6) 在Rt △BMP 中，BP ·cos60°＝MP 即2(t －6)·

21＝69t -，解得t ＝7

45

······················· 10分 ②存在．理由如下：

∵t ＝2，∴OE ＝3

3

2，AP ＝2，OP ＝1

将△BEP 绕点E 顺时针方向旋转90°，得到△B ′EC （如图3）

（图1）

（图2）

∵OB ⊥EF ，∴点B ′ 在直线EF 上， C 点坐标为（

332，33

2－1） 过F 作FQ ∥B ′C ，交EC 于点Q ，则△FEQ ∽△B ′EC 由

FE BE ＝FE E B ＝QE CE ＝3，可得Q 点坐标为（－32

，33

··································

·················· 11分

根据对称性可得，Q 点关于直线EF 的对称点Q ′（－3

2

，3）也符合条件．

··············································································· 12分

11．（浙江省绍兴市）如图，设抛物线C 1：y ＝a (x ＋1)2－5，C 2：y ＝－a (x －1)2

＋5，C 1与C 2的交点为A ，B ，点A 的坐标是（2，4），点B 的横坐标是－2． （1）求a 的值及点B 的坐标；

（2）点D 在线段AB 上，过D 作x 轴的垂线，垂足为点H ，在DH 的右侧作正三角形DHG ．记过C 2顶点M 的直线为l ，且l 与x 轴交于点N ．

①若l 过△DHG 的顶点G ，点D 的坐标为（1，2），求点N 的横坐标； ②若l 与△DHG 的边DG 相交，求点N 的横坐标的取值范围．

11．解：

（1）∵点A （2，4）在抛物线C 1上，

∴把点A 坐标代入y ＝a (x ＋1)2

－5得a ＝1

∴抛物线C 1的解析式为y ＝x

2

＋2x －4 ··············································· 1分

设B （－2，b ），则b ＝－4

∴B （－2，－4） ·········································································· 2分

（2）①如图1

∵M （1，5），D （1，2），且DH ⊥x 轴 ∴点M 在DH 上，MH ＝5 过点G 作GE ⊥DH ，垂足为E

（图3）

由△DHG 是正三角形得EG ＝3，EH ＝1

∴ME ＝4

设N （x ，0），则NH ＝x －1

由△MEG ∽△MHN ，得MH

ME ＝HN EG ∴54＝13-x ，∴x ＝34

5＋1 ∴点N 的横坐标为34

5＋1 ···························································· 7分

②当点D 移到与点A 重合时，如图2

直线l 与DG 交于点G ，此时点N 的横坐标最大． ······························ 8分 过点G ，M 作x 轴的垂线，垂足分别为点Q ，F ，设N （x ，0）

∵ A （2，4），∴G （2＋32，2）

∴NQ ＝x －2－32，NF ＝x －1，GQ ＝2，MF ＝5

∵△NGQ ∽△NMF ，∴NF

NQ ＝MF GQ ∴1322---x x ＝5

2，∴x ＝38310+ ··············································· 10分 当点D 移到与点B 重合时，如图3

直线l 与DG 交于点D ，即点B ，此时点N 的横坐标最小． ················· 11分 ∵B （－2，－4），∴H （－2，0），D （－2，－4），设N （x ，0）

∵△BHN ∽△MFN ，∴FN NH ＝MF

BH ∴x x -+12＝54，∴x ＝－3

2 ······························································ 12分 又∵当点D 与原点O 重合时，△DHG 不存在

238310+且

12．（浙江省嘉兴市）如图，已知抛物线y ＝－21x 2＋x ＋4交x 轴的正半轴于点A ，交y 轴于点B ． 图2

图3