二重积分的计算习题课

微积分 高数

习题课 二重积分的计算

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一,主要内容二重积分的计算: 二重积分的计算 二重积分 累次积分 ①作出积分区域的草图 ②选择适当的坐标系 ③选定积分次序,定出积分限 选定积分次序, 1.关于坐标系的选择 关于坐标系的选择: 关于坐标系的选择 积分区域的形状 被积函数的特点 积分区域: 圆形,扇形, 积分区域 圆形,扇形,圆环形y 2 2 被积函数呈: 被积函数呈 f ( x + y ), f ( ) x

常用极坐标 常用极坐标

其它: 其它 直角坐标2

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2. 积分次序的选择原则 积分次序的选择原则: ①能积分,②分块少,③计算简单 能积分, 分块少, 3. 积分限的确定: 积分限的确定: 穿越法定限和 看图定限 —穿越法定限和不等式法定限 先选序,后定限 穿越法定限和不等式法定限 先选序, 面积元素: 面积元素: dσ = dxdy ( dσ = rdrdθ ) 4. 关于对称性 运用对称性:要兼顾被积函数和积分区域两个方面 运用对称性:要兼顾被积函数和积分区域两个方面 对称性 被积函数

简述为" 对称, 奇偶" 简述为"你对称,我奇偶"

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二重积分定限: 二重积分定限:

a≤ x≤b D: : 1 ( x ) ≤ y ≤ 2 ( x )y = 2(x)

{

X-型 -

{ ( y) ≤ x ≤ ( y)1 2

c≤ y≤d

Y-型 -

d

Dy = 1( x )ab

x = 1( y)

D

x = 2( y)

c

∫∫ f ( x, y)dσ = ∫ dx∫a Dd c D

b

2 ( x)1 ( x)

f ( x, y)dy.f ( x, y)dx.

[X-型区域] -型区域] [Y-型区域] -型区域]4

∫∫ f ( x, y)dσ = ∫ dy∫

2 ( y)1 ( y)

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x = r cos θ 坐标变换: 极 坐标变换: y = r sin θ

面积微元: 面积微元: dσ = dxdy = rdrdθ

α ≤ θ ≤ β θ-型区域 D : 1 (θ ) ≤ r ≤ 2 (θ )r = 1(θ)

θDβα

r = 2 (θ)

I = ∫∫ f ( x , y )dxdyD

= ∫∫ f ( r cos θ , r sin θ ) rdrdθ .D

o 2 (θ ) 1 ( θ ) (θ )

= ∫ dθ ∫αβ α

β

A

f ( r cos θ , r sin θ ) rdr (O D )f ( r cos θ , r sin θ ) rdr (O ∈ D )

= ∫ dθ ∫2π 0

0

= ∫ dθ ∫

(θ )

0

f ( r cos θ , r sin θ )rdr (O ∈ D°)5

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a≤r≤b r-型区域 D : θ1 ( r ) ≤ θ ≤ θ 2 ( r )I = ∫∫ f ( x , y )dxdyD

θ = θ 2 (r )

θ = θ1 (r )

D

= ∫∫ f ( r cos θ , r sin θ ) rdrdθ .D

o

a

r

b x

= ∫ rdr ∫a

b

θ2 ( r )

θ1 ( r )

f ( r cos θ , r sin θ )dθ (O D )

(在积分中注意使用对称性) 在积分中注意使用对称性) 对称性6

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例1. 求球体

被圆柱面 x + y = 2 ax2 2

所截得的(含在柱面内的)立体的体积. 所截得的(含在柱面内的)立体的体积. 解: 设 D : 0 ≤ r ≤ 2a cosθ , 0 ≤θ ≤ 由对称性可知

π2

z

V = 4 ∫∫

D

4a r r d r dθ2 2

o2a

y

∫0

2acosθ

4a2 r 2 r d r32 3 π 2 = a ( ) 3 2 3

xr = 2a cos θ

θ7

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例 2 计算双纽线所围成的图形的面积( x 2 + y 2 )2 = a 2 ( x 2 y 2 )

解 根据对称性有 D = 4D1在极坐标系下

( x + y ) = 2a ( x y )2 2 2 2 2 2

r = a cos 2θ , π D1 : 0 ≤ θ ≤ 0 ≤ r ≤ a cos 2

θ ,4D

所求面积σ = ∫∫ dxdy = 4 ∫∫ dxdy

= 4 ∫ dθ ∫4

π

D1

a cos 2θ

0

0

rdr = a 2

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例 3 求双纽线 ( x 2 + y 2 ) 2 = 2a 2 ( x 2 y 2 ) 所围成的图形的面积. 和 x 2 + y 2 ≥ a 2 所围成的图形的面积

解 根据对称性有 D = 4D1在极坐标系下

x + y = a r = a,2 2 2

( x 2 + y 2 )2 = 2a 2 ( x 2 y 2 ) r = a 2 cos 2θ ,r = a 2 cos 2θ π 由 , 得交点 A = ( a, ) 6 r=a 所求面积σ = ∫∫ dxdy = 4 ∫∫ dxdyDD1π 6

D1

= 4 ∫ dθ ∫0

a 2 cos 2 θ

a

π rdr = a ( 3 ). 32

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二重积分的对称性质

"你对称,我奇偶" 你对称, 奇偶"

结论1:如果积分区域D关于 对称, 关于y轴 结论 :如果积分区域 关于 轴对称,且D1 = {( x , y ) ( x , y ) ∈ D, x ≥ 0}

0 则 ∫∫ f (x, y)dσ = 2 f (x, y)dσ D ∫∫ D1

当 f (x, y) = f (x, y) 时 当 f (x, y) = f (x, y) 时

结论2:如果积分区域D关于 关于x轴对称, 结论 :如果积分区域 关于 轴对称,且D1 = {( x , y ) ( x , y ) ∈ D, y ≥ 0}

0 则 ∫∫ f (x, y)dσ = 2 f (x, y)dσ D ∫∫ D1

当 f (x,y) = f (x, y) 时 当 f (x,y) = f (x, y) 时10

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结论3:如果积分区域D关于坐标原点O对称 关于坐标原点 对称, 结论 :如果积分区域 关于坐标原点 对称,则

0 ∫∫ f (x, y)dσ = 2∫∫ f (x, y)dσ D D 1其中 D1 = {(x, y) ( x, y) ∈ D,

当 f (x,y) = f (x, y) 时 当 f (x,y) = f (x, y) 时x ≥ 0}

结论4:如果积分区域D关于直线 =x对称,则 结论 :如果积分区域 关于直线y 对称, 关于直线 对称

∫∫ f ( x, y )dσ = ∫∫ f ( y, x)dσD D

关于积分变量的轮换对称性 关于积分变量的轮换对称性

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二,例题分析( x2 + y2 )dσ 例1 计算 ∫∫D

D: 2x x2 ≤ y ≤ 4 x2 x ∈ [0,2]D

解: I =

( x + y )dσ = ∫∫ r2 rdrd θ ∫∫2 2 D D′

换系

y = 2 x x 2 → r = 2 cos θ

o

2

y = 4 x2 → r = 2D → D′ : 0 ≤ θ ≤π

π2

, 2cos θ ≤ r ≤ 2π

1 2 I = dθ r rdr = ∫ (16 16 cos4 θ )dθ 4 0 0 2 cosθ π 3 1 π 5π = 4 …… 此处隐藏：1991字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……