2012-2013(2)实变函数(考查)试卷A

杭州师范大学理学院2012-2013学年第二学期期末考试

《实变函数》试卷（A）

一、 填空（共15分，每小题3分）

1．设P为Cantor集，则 P ，mP ，P 2．设 En n 1是一个递增的可测集合列，E

n

o

E

n 1

n

，则limmEn 。

n

3．设E R，则E可测 A E,B EC，都有 4．设{fn(x)}和f(x)都是可测集E上的可测函数，且fn(x) f(x)，则存在

{fnk(x)} {fn(x)}，使得 。

5．设集合列{En}满足条件：E1 E2 En En 1 ，则limEn

n

二、选择（共15分，每小题3分） 1．以下结论错误的是（ ）。

A、设A是可数集，B是有限集或可数集，则A B仍为可数集； B、设 An n 1是一列可数集， A

A

n 1

n

，A是可数集；

C、设Bn {0,1}， n Z，B

B

n 1n

n

，则B是可数集；

D、设An c, n Z，A

A

n 1

，则A c。

2．以下结论错误的是（ ）。

A、集合E是开集 E E； B、R中的有界闭集必为紧集，反之未必；

C

C、集合E是开集 E是闭集； D、集合E是完备集 E E。

n

3．以下结论错误的是（ ）。

A、设E R，且mE ，则E是有界集； B、若mE 0，则E是可测集； C、设E R，则E是可测集 E是可测集； D、凡Borel集都可测。 4. 设集合A2k 1 (0,2)，A2k (1,3]，则An （ ）。

n

n

C

n

**

A、(0,3]； B、(1,2)； C、[1,2)； D、[1,2]

E上的可测函数，则fn(x)在E上基本上一致收敛5. 设E是可侧集，f(x)和{fn(x)} n 1是

于f(x) 是fn(x)在E上几乎处处收敛于f(x)的（ ）。

A、充分必要条件； B、充分非必要条件； C、必要非充分条件； D、无关条件。

三、判断题（共22分，每小题2分）

1．可数集的任何无限子集必为可数集（ ）。 2．有限集合一定是闭集（ ）。 3．G 型集是不可测集（ ）。

4. 可列个闭集的并集一定是闭集（ ）。

5. 设f(x)在集合E1上可测，且mE2 0，则f(x)在集合E1 E2上可测（ ）。 6. 设f(x)是定义在可测集E上的可测函数，则集合E[f ]是可测集 （ ）。 7. 设{fn(x)}是可侧集E上的可测函数列，且limfn(x) f(x)，a.e.于E，则f(x)是E 上

n

的可测函数（ ）。

8. 定义在可测集E上的函数f(x)可测的充要条件是：|f(x)|在E上可测 ( × )。 9. 设集合A表示区间[a,b]上所有Riemann可积函数的全体，集合B表示区间[a,b]上所有Lebesgue可积函数的全体, 则A是B的真子集（ ）。 10. 设f(x)在可测集E上可积且f(x) 0,a.e.于E，则

。 |f(x)|dx 0（ ）

E

11. 设f(x)在可测集合E上积分确定，则f(x)在E上Lebesgue可积（ ）。 四、简答题（共18分，每小题9分）

1. 设E1表示[0,1]中的全体无理数所构成的集合，E2表示[0,1]中的全体有理数所构成的集

x xe，　　x E1，

f(x)dx的值. 合，f(x)＝ ，证明f(x)在[0,1]上Lebesgue可积，并计算 sinx[0,1]

x e， x E2

1nx7

sinnxdx. 2、求极限lim(R) 01 n2x2n

2

五、证明题（共30分，每小题10分）

1. E上fn(x) f(x),而fn(x) gn(x)a.e.成立,n 1,2, ,则有gn(x) f(x)。 2 利用

1111

(1 x) (x2 x3) (0 x 1)，证明ln2 1 . 1 x234

3. 可测集E上fn(x) f(x)，gn(x) g(x)，n . 证明：在E上必有

fn(x) gn(x) f(x) g(x)。