第1章 数理逻辑-谓词逻辑

数理逻辑-谓词逻辑

第一章 数理逻辑 Mathematics Logic

数理逻辑-谓词逻辑

1.6~1.8 谓词逻辑 Predicate Logic

数理逻辑-谓词逻辑

问题的提出：(命题逻辑的局限性)

例：苏格拉底论断

前提

“所有的人总是要死的” “苏格拉底是人” P Q P∧Q→R 不是有效推理

结论

“所以苏格拉底是要死的” R

命题逻辑中原子命题不可再分

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例

Ｐ1：小张是大学生 Ｐ2：小李是大学生

Q1 ：2大于3 Q2 ：6大于4

命题逻辑无法反映不同原子命题间的内在 共性 解决问题的方法

分析原子命题，分离其主语和谓语 考虑一般和个别，全称和存在

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1.6 谓词和量词

1.6.1 谓词

谓词的概念和表示

在原子命题中，用来刻划一个个体的性质或个体之 间关系的成分称为谓词，刻划一个个体性质的词称 为一元谓词；刻划n个个体之间关系的词称为n元谓

词

常用大写英文字母表示

个体

能够独立存在的事物 通常用小写英文字母a、b、c、...表示个体常量 用小写英文字母x、y、z...表示任何个体，则称这 些字母为个体变元

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例1

(a) 5 是质数 (b) 张明生于北京 (c) 7=3×2 F(x)：x是质数 G(x, y)： x生于y ，a：张明，b：北京 H(x, y, z) ：x=y×z

变元的次序很重要 谓词 个体词 谓词命名式 (谓词填式)

F(5) G(a,b) H(7,3,2)

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谓词常元

一个字母代表一特定谓词, 例如F代表“是质 数”, 则称此字母为谓词常元

谓词变元

若字母代表任意谓词, 则称此字母为谓词变元

论域

个体域 谓词命名式中个体变元的取值范围 空集不能作为论域

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命题函数

谓词命名式不是命题

若谓词是常元 个体词是常元 谓词命名式才成为一个命题

谓词函数

由一个谓词和若干个个体变元组成的命题形式 称为简单命题函数，表示为P(x1,x2,…,xn)。由一 个或若干个简单命题函数以及逻辑联结词组成 的命题形式称为复合命题函数 n=0时

命题变元

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例

A(x)：x身体好 B(x)：x学习好 C(x)：x工作好 如果x身体不好，则x的学习与工作都不会好复 合命题函数 A(x)→( B(x)∧ C(x))

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1.6.2 量词

例

P(a)∧ P(b) “所有的正整数都是素数” “有些正整数是素数” P(a)∨ P(b)

假设

只有两个正整数a和b 个体域为{a,b} P(x)：x是素数

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全称量词

记作 表示“每个”、“任何一个”、“一切”、“所 有的”、“凡是”、“任意的”等 x读作“任意x”， “所有x”， “对一切x ” 量词后边的个体变元，指明对哪个个体变元量化， 称为量词后的指导变元 指导变元 例

所有人都是要死的 D(x)：x是要死的 个体域：所有人构成的集合 x D(x)

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存在量词

记作 表示“有些”、“一些”、“某些”、 “至少一个”等 x读作“存在x”，“对某些x”或“至少有一 x” 指导变元 例

有些有理数是整数 Ｉ(x)：x是整数 个体域：有理数集合

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全总个体域（

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