高数线性代数第一章

第一章

习题课

1 全排列把 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n 个元 素的全排列(或排列).

且 Pn n!.

n 个不同的元素的所有排列的种数用 Pn 表示，

2 逆序数

在一个排列 i1i2 it i s in 中，若数 it i s, 则称这两个数组成一个逆序.

一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆 序数.逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为 偶数的排列称为偶排列.

3 计算排列逆序数的方法方法1 分别计算出排在 1 ,2 , , n 1 , n 前面比它大的 数码之和，即分别算出 1 ,2 , , n 1 , n 这 n个元素 的逆序数，这 n 个元素的逆序数之总和即为所求 排列的逆序数. 方法2

分别计算出排列中每个元素前面比它大的数 码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数， 每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.

4 对 换定义 在排列中，将任意两个元素对调，其余元 素不动，称为一次对换.将相邻两个元素对调， 叫做相邻对换.定理 一个排列中的任意两个元素对换，排列改 变奇偶性.

推论

奇排列调成标准排列的对换次数为奇数， 偶排列调成标准排列的对换次数为偶数.

5 n阶行列式的定义a11 a12 a1n a21 a22 a2 n D an1 an 2 annp1 p 2 p n

1 a p1 1a p 2 2 a p n nt

其中 p1 p 2 p n 为自然数1,2, , n的一个排列 t为这 ; 个排列的逆序数 表示对1,2, , n的所有排 ;p1 p2 pn

列取和.

n阶行列式D亦可定义为 D p1 p2 pn

( 1) a p11 a p2 2 a pn n ,t

其中t为行标排列 p1 p 2 p n 的逆序数.

6 n阶行列式的性质

1)行列式与它的转置行列 式相等, 即D DT . 2)互换行列式的两行 列), 行列式变号. ( 3)如果行列式有两行 列)完全相同, 则此行列式 (

等于零. 4)行列式的某一行 列)中所有的元素都乘以同 ( 一数k , 等于用数 k 乘此行列式.

5)行列式中某一行(列) 的所有元素的公因子可 以 提到行列式符号的外面 . 6)行列式中如果有两行(列) 元素成比例, 则此行列 式为零. 7 )若行列式的某一列(行) 的元素都是两数之和则 , 此行列式等于两个行列 式之和. 8)把行列式的某一列(行) 的各元素乘以同一数然 , 后加到另一列(行) 对应的元素上去 行列式的值不变 , .

7 行列式按行(列)展开1)余子式与代数余子式

在n阶行列式中，把元素a ij 所在的第i行和第 j 列划去后，留下来的n 1阶行列式叫做元素a ij 的余子式，记作M ij ;记 Aij ( 1)i j

M ij ,

Aij 叫做元素a ij 的代数余子式.

2)关于代数余子式的重要性质

D ,当i j; a ki Aki D ij k 1 0,当i j .n

或 D ,当i j; a ik A jk

D ij k 1 0,当i j . 1,当i j; 其中 ij 0,当i j .n

8 克拉默法则 a 11 x 1 a 12 x 2 a 1n x n b1 , a 21 x 1 a 22 x 2 a 2 n x n b 2 , 如果线性方程组 a n1 x 1 a n 2 x 2 a nn x n b n . 的系数行列式 D 0, 那么它有唯一解 Dj , j 1,2, , n. xj D 其中 D(j 1,2, , n)是把系数行列式D中第j列 j 换成常数项b1 , b2, b n 所得到的行列式 .

克拉默法则的理论价值定理 如果线性方程组

a 11 x 1 a 12 x 2 a 1n x n b1 , a 21 x 1 a 22 x 2 a 2 n x n b 2 , a n1 x 1 a n 2 x 2 a nn x n b n . 的系数行列式D 0, 那么它一定有解，且解 唯一.定理 如果上述线性方程组无 解或有两个不同的解，则它的系数行列式 必为零.

定理

如果齐次线性方程组

a 11 x 1 a 12 x 2 a 1n x n 0, a 21 x 1 a 22 x 2 a 2 n x n 0, a n1 x 1 a n 2 x 2 a nn x n 0. 的系数行列式D 0, 那么它没有非零解 .定理

如果上述齐次线性方程 组有非零解，则

它的系数行列式必为零 .

典 型 例 题一、计算排列的逆序数

二、计算(证明)行列式三、克拉默法则

一、计算排列的逆序数

例1 求排列 2k 1 2k 1 2 2k 2 3 2k 3

k 1 k 的逆序数, 并讨论奇偶性.解 分别算出排列中每个元素前面比它大的数码之 和，即算出排列中每个元素的逆序数.2k排在首位, 故逆序数为 ; 0

1的前面比 大的数有一个 2k ), 故逆序数为 ; 1 ( 1(2k 1)的前面比(2k 1)大的数有一个 2k ),故 ( 逆序数为 ; 1