第2章 2.1,2.2地图的数学基础1

第二章 地图的数学基础本章教学基本内容 地图的控制网、坐标系 地图投影的定义、分类 地图常见的投影及应用 地图投影的判别、选择、变换 地图比例尺、、定向、分幅与编码

§ 2.1 地球椭球体与大地控制2.1.1 地球椭球体 1、地球的自然表面为了了解地球的形状，让我们由远及近，地观察 一下地球的自然表面。

浩瀚宇宙之中 : 地球是一个表面光滑、蓝色美丽的 正球体。

事实是：地球不是一个正球体，而是一个极半径略短、 赤道半径略长，北极略突出、南极略扁平，近于 梨形的椭球体。

2、大地水准面与大地体当海洋静止时，自由水面与该面上各点的重力方向 (铅垂线)成正交，这个面叫水准面。

在众多的水准面中，有一个与静止的平均海水面相 重合，并假想其穿过大陆、岛屿形成一个闭合曲面， 这就是大地水准面。它实际是一个起伏不平的重力等 位面——地球物理表面。它所包围的形体称为大地体。

大地水准面的意义：1)地球形体的一级逼近对地球形状的很好近似，其面上高出与面下缺少的 相当。

2)起伏波动在制图学中可忽略：对大地测量和地球物理学有研究价值，但在制图业 务中，均把地球当作正球体。

3)重力等位面：可使用仪器测得海拔高程(某点到大地水准面的高 度)。

3、椭球体、正球体、参考椭球体在测量和制图中就用旋转椭球体来代替大地球 体，这个旋转椭球体通常称为 地球椭球体，简称 椭 球体。

它是一个规则 的数学表面，所 以人们视其为 地 球体的数学表面 ，也是对地球形 体的二级逼近， 用于测量计算的 基准面。

椭球体 三要素: 长轴 a(赤道半径)、短轴 b(极半径)和椭球的扁率 fWGS [world geodetic system] 84 ellipsoid:a = 6 378 137m b = 6 356 752.3m equatorial diameter = 12 756.3km polar diameter = 12 713.5km equatorial circumference = 40 075.1km surface area = 510 064 500km2North Pole

Polar Axis

b aEquatorial Axis

Equator

a-b 6378137 - 6356752.3 f = —— = ———————— a 6378137

South Pole

— = 298.257 f对 a,b,f 的具体测定就是近代 大地测量的一项重要工作。

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对地球形状 a,b,f 测定后，还必须确定大地水准 面与椭球体面的相对关系。即确定与局部地区大地水准 面符合最好的一个地球椭球体 —— 参考椭球体，这项 工作就是参考椭球体定位。 通过数学方法将地球 椭球体摆到与大地水准面 最贴近的位置上，并求出 两者各点间的偏差，从数 学上给出对地球形状的三 级逼近。

由于国际上在推求年代、方法及测定的地区不同，故 地球椭球体的元素值有很多种。

2.1.2 大地控制地球表面上的定位问题，是与人类

的生产活动、 科学研究及军事国防等密切相关的重大问题。具体而 言，就是球面坐标系统的建立。

一、地理坐标与大地坐标系 1、地理坐标系 —— 用经纬度表示地面点位的球面坐标。① 天文经纬度 ② 大地经纬度 ③ 地心经纬度

① 天文经纬度：表示地面点在大地水准面上的 位置，用天文经度和天文纬度表示。 天文经度λ:观测点天顶子午面与格林尼治天顶 子午面间的两面角。 在地球上定义为本初子午面与观测点之间 的两面角。 天文纬度φ: 在地球上定义为铅垂线与赤道平 面间的夹角。

② 大地经纬度：表示地面点在参考椭球面上的位置， 用大地经度l 、大地纬度 和大地高 h 表示。 大地经度 B:指参考椭球 面上某点的大地子午面与 本初子午面间的两面角。 东经为正，西经为负。 大地纬度L:指参考椭球 面上某点的垂直线(法线) 与赤道平面的夹角。北纬 为正，南纬为负。

③ 地心经纬度：即以地球椭球体质量中心为基点， 地心经度同大地经度l ,地心纬度是指参考椭球面 上某点和椭球中心连线与赤道面之间的夹角y 。 在大地测量学中，常以 天文经纬度定义地理坐标。 在地图学中，以大地经 纬度定义地理坐标。 在地理学研究及地图学 的小比例尺制图中，通常将 椭球体当成正球体看，采用 地心经纬度。

地心坐标系与参心坐标系的区别原点定 义 椭球定 位 以地球质心(总地球椭球体中心) 以参考椭球体中心为原点的坐 为原点的坐标系 标系 总地球椭球体中心与地球质心重 合 总地球椭球面与全球大地水准面 差距的平方和最小 椭球短轴与地球自转轴重合 全球测图 参考椭球体中心与地球质心不 重合 参考椭球面与区域大地水准面 差距的平方和最小 椭球短轴与地球自转轴平行 区域(国家)测图

椭球定 向 适用范 围 实例

WGS84坐标系、2000国家大地坐标 1954年北京坐标系、1980西安 系,天文地理坐标系 坐标系

2、中国的大地坐标系统1) 80西安坐标系 80西安坐标系选用1975年国际大地测量协会推 荐的参考椭球： ICA-75椭球参数

a = 6 378 140mb = 6 356 755m f = 1/298.257