三重积分--华南理工大学高数课件

华南理工大学高数课件

3 三重积分的概念与计算三重积分的概念 三重积分的计算

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一、三重积分的概念1. 三重积分的定义 ① 设f ( x , y, z )是空间有界闭区域Ω上的 有界函数. 将闭区域Ω任意分成n个小闭区域

v1 , v2 , vn其中 v i表示第i个小闭区域, 也表示它的体积. ② 在每个 v i上任取一点 ( i , i , i ), 作乘积 并作和 f ( , , ) v ( i 1,2 , n),③i i i i

i 1

n

④ f ( i , i , i ) vi . 如当各小闭区域直径中的最大值

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趋于零时这和的极限总存在, 则称此极限为函数 f ( x , y, z )在闭区域Ω上的三重积分.记为 即

f ( x , y , z )dv Ωn 0 i 1 i i i

f ( x , y, z )dv lim f ( , , Ω体积元素

) v i

当f ( x , y , z )) 0时， f ( x , y, z )dv的物理意义表示

以f ( x , y , z )为体面密度的非均匀立体的质量.

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三重积分

二、三重积分的计算1. 在直角坐标系下计算三重积分 直角坐标系下的体积元素为

dv dxdydz在直角坐标系下三重积分可表为

f ( x , y, z )dv f ( x, y, z )dxdydz

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F ( x, y) 投影法D

z2 ( x , y )

F ( x , y )d [ z ( x , y ) D1

z1 ( x , y ) z2 ( x , y )

f ( x , y , z )dz

f ( x , y , z )dz ] d

如图, 闭区域 在xOy面上的投影为闭区域D,S1 : z z1 ( x, y),zz2

z z2 ( x , y )S2

S2 : z z2 ( x, y),过点 ( x , y ) D 作直线,从 z1 穿入, 从 z2 穿出.b x

z1

S1

z z1 ( x , y )y y2 ( x )

a

O( x, y)

D

y

y y1 ( x )

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例 化三重积分 I f ( x , y , z )dxdydz 为三次积分, 其中积分区域为由曲面 z x 2 2 y 2 及z 2 x 2 所围成的闭区域. z x2 2 y2 解 由 得交线投影区域 2 z 2 x z x2 2 y2

D : x2 y2 1

z

I [ 2Dxy

2 x22

x 2 y1

f ( x, y, z)dz]d x1 x 22

O

y z 2 x2

I dx 1

1 x

dy

2 x 22 2

x 2 y

f ( x , y, z )dz

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例 计算三重积分 I x 3 y 4 cos zdxdydz ,

V ( x , y , z ) 0 x 1, 0 y 1, 0 z . 2 解Dxy

其中V是长方体

V

[ 2 x 3 y 4 cos zdz ]d I 0

z

dx x y dy3 4 0 0

1

1

1 20x

O

y

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三重积分

例 求I 解

0 dx 0

1

1 x

dz

1 x z

0

(1 y )e

(1 y z )2

dyz1

e

y 2 的原函数不是初等函数,

x y z 1

一定要交换积分次序. 应先x对积分I Dyz

1 (1 y z )2

O

1

y

[ 1 0

1 y z

0

(1 y)e

dx]d

x

dy 0 (1 y )e

1 y

(1 y z )2

(1 y z )dz

1 y 1 1 (1 y z )2 (1 y )dy e d[ (1 y z )2 ] 0 2 0 1 4e

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截面法

截面法

的一般步骤(1) 把积分区域 向某轴 (如z轴) 投影, 得投影区间 [c1 , c2 ];(2)对z [c1 , c2 ]用过z轴且平行xOy的平面去截 ,

得截面Dz ; (红色部分)(3) 计算二重积分 f ( x , y , z )dxdyDz

c2

z

zc1o

Dz

其结果为z的函数F (z ); c2 (4) 最后计算单积分 F ( z )dz .c1

y

x

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例 计算三重积分 zdxdydz ,其中 为

三个坐标面及平面 y z 1所围成的闭区域. x解 截面法(先二后一法)z1 x y z 1Dz

zdxdydz 0 zdz dxdy 1Dz

Dz {( x , y ) | x y 1 z }1 dxdy 2 (1 z )(1 z ) Dz 1 1 1 2 原式= 0 z (1 z ) dz . 2 24

1

O

1

y

x

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2、在柱面坐标系下计算三重积分设M(x, y, z)为空间内一点, 并设点M在xOy 面上的投影P的极坐标为 r , , 则这样的三个数

r , , z 就叫点M的柱面坐标.规定 0 r , 0 2 ,z M ( x, y, z )

z 直角坐标与柱面坐标的关系为

x r cos , y r sin , z zx

o

r

y P ( r , )

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柱面坐标系中, 三坐标面分别为

z 为常数与xOy平面平行的平面;

z

M ( x, y, z )

r 为常数以z轴为中心轴的圆柱面；O

y

为常数过z轴的半平面.

P ( r , )

x

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如图, 在柱面坐标系中, 若以三坐标面分割空间区域 ,

z

r d

得小柱体 V (红色部分). 即

rdr

dz

V rd dr dz柱面坐标系中的体积元素为

o

y

dv r dr d dz

x

d

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f ( x , y, z )dxdydz f ( r cos , r sin , z ) rdrd dz

d r ( ) dr z ( r , ) f (r cos , r sin , z )r dz 11

r2 ( )

z 2 ( r , )

后积 再积 r、 . 注 通常是先积 z、

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例

计算 x 2 y 2 dv ,其中Ω由柱面 x 2 y 2 16

及平面y z 4, z 0 所围成.y

解 积分域用柱坐标表示为 : 0 z 4 r sin ,

r 4

0 r 4,

0 2

O

4x

原式 r r drd dz

d 0

2

4

0

r dr

2

4 r sin

0

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