4.4.2_参数方程和普通方程的互化

时间：2026-01-16

4.4.2 参数方程和普通方程的互化教学目标：教学目标： 1.掌握参数方程化为普通方程几种基本方法 1.掌握参数方程化为普通方程几种基本方法 2.选取适当的参数化普通方程为参数方程 2.选取适当的参数化普通方程为参数方程重点、难点：重点、难点：参数方程与普通方程的等价性

x = cos θ + 3, 由参数方程 (θ 为参数)直接判断点M 的轨迹的 y = sin θ 曲线类型并不容易，但如果将参数方程转化为熟悉的普通方程，则比较简单。

由参数方程得： cosθ = x 3 2 ,sin θ + cos2 θ = ( x 3)2 + y2 = 1 sinθ = y 所以点M的轨迹是圆心在(3,0),半径为1的圆。

参数方程和普通方程的互化：参数方程和普通方程的互化：(1)参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程如：①参数方程

x = a + r cos θ , 消去参数θ θ y = b + r sin θ .

可得圆的普通方程(x-a)2+(y-b)2=r2. (x- +(y(x x = t, ②参数方程 (t为参数) y = 2 t 4.

通过代入消元法消去参数t ,

可得普通方程：y=2x-4 y=2xy=2x

(x≥0)

注意：注意：在参数方程与普通方程的互化中，必须使x 在参数方程与普通方程的互化中，必须使x,y的取值范围保持一致。持一致。否则，互化就是不等价的. 否则，互化就是不等价的.

例1、把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各把下列参数方程化为普通方程，表示什么曲线？表示什么曲线？ x= t + 1 (1) ( t为参数 ) y = 1 2 t (1) 解：因为x = t +1≥1

x= sinθ + cosθ (2) (θ为参数). y = 1+ sin2θ

所以普通方程是 y = 2 x + ( x ≥ 1) 3 1) 这是以 (1, 为端点的一条射线 ( 包括端点 )

( 2 )因为： x = sin θ + co s θ = 所以x ∈ 2 , 2

2 sin (θ +

)

所以普通方程是 x 2 = y, x ∈ 2 ,

2 .

练习、将下列参数方程化为普通方程：练习、将下列参数方程化为普通方程： x = 2 + 3cosθ (1) y = 3sinθ

x = sinθ (2) y = cos2θ

x=t+1/t(3)

y=t2+1/t2

步骤：(1)消参；步骤： )消参； (2)求定义域。 )求定义域。

)(x-2) (1)( )2+y2=9 (2)y=1- 2x2(- 1≤x≤1) )( ) ) (3)x2- y=2(X≥2或x≤- 2) ) ( 或 )

例2、求参数方程θ θ x =| cos + sin |, 2 2 (0 < θ < 2π ) y = 1 (1 + sin θ ) 2

表示( B)

(A)双曲线的一支这支过点(1,1/2): )双曲线的一支, 这支过点( ): (B)抛物线的一部分这部分过(1,1/2): )抛物线的一部分, 这部分过( ): (C)双曲线的一支这支过点(–1, 1/2) )双曲线的一支, 这支过点( (D)抛物线的一部分这部分过(

–1,1/2) )抛物线的一部分, 这部分过(

小结: 小结: 参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常见方法有三种：见方法有三种：

1.代入法：利用解方程的技巧求出参数t,然后代入消 1.代入法：利用解方程的技巧求出参数t,然后代入消代入法 t, 去参数 2.三角法三角法： 2.三角法：利用三角恒等式消去参数 3.整体消元法根据参数方程本身的结构特征, 整体消元法： 3.整体消元法：根据参数方程本身的结构特征,从整体上消去。整体上消去。

化参数方程为普通方程为F(x,y)=0: 化参数方程为普通方程为F(x,y)=0:在消参过程中注 F(x,y)=0 意变量x 取值范围的一致性，意变量x、y取值范围的一致性，必须根据参数的取值范围，确定f(t) g(t)值域得 f(t)和值域得x 的取值范围。值范围，确定f(t)和g(t)值域得x、y的取值范围。

参数方程和普通方程的互化：参数方程和普通方程的互化：(2)普通方程化为参数方程需要引入参数的普通方程是2x-y+2=0,可以化为参数方程如：①直线L 的普通方程是，

x = t, 为参数) (t为参数) 为参数 y = 2t + 2.②在普通方程xy=1中，令x = tanθ,可以化为参数方程中 θ 可以化为参数方程

x = tan θ , y = cot θ .

(θ为参数)

x2 y2 例3 求椭圆 + = 1的参数方程。 9 4 Q cos 2 + sin 2 = 1 (1)设x=3cos , 为参数；令 x = cos , y = sin 3 2 x = 3 cos 为参数 y = 2 sin

(2)设 y= 2 t, t为参数 . x = 3 1 t2 x = -3 1 t 2 (2) 参数方程是或 y = 2t y = 2t

思考：为什么中的两个参数方程合起来才是椭圆思考：为什么(2)中的两个参数方程合起来才是椭圆的参数方程？的参数方程？

练习: 练习: 曲线y=x 的一种参数方程是( 2、曲线y=x2的一种参数方程是( ). x = t2 A、 4 y = t x = sin t B、 2 y = sin t x = t C、 y = t x = t D、 2 y = t

分析: 分析: 在y=x2中，x∈R, y≥0, y≥0,在A、B、C中，x,y的范围都发生了变化，不等价；发生了变化，因而与 y=x2不等价；而在D中，的范围相同， x,y范围与y=x2中x,y的范围相同，

x = t 且以 y = t2

代入y=x 后满足该方程，从而D是曲线y=x 的一种参数方程. 代入y=x2后满足该方程，从而D是曲线y=x2的一种参数方程.

注意：注意：在参数方程与普通方程的互化中，必须使x,y的取值范围保持一致。否则，互化就是不等价的.